科数网知识库
首页
目录
均值的置信区间
日期:
2023-01-03 14:40
查看:
70
次
01.已知方差 $\sigma^2$ ，期望 $\mu$ 的双侧置信区间； 02.方差 $\sigma^2$ 末知，期望 $\mu$ 的双侧置信区间. (1)已知方差 $\sigma^2$ ，期望 $\mu$ 的双侧置信区间 首先， $\mu$ 的无偏估计 $\bar{X}$ ，其次，构造随机变量 $$ G(\mu, \bar{X})=\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$ 则 $\alpha, b$ 需要满足 取 $$ a=u_{\frac{\alpha}{2}}=-u_{1-\frac{\alpha}{2}}, \quad b=u_{1-\frac{\alpha}{2}} $$ 不等式等价变形后即得 $\mu$ 的双侧置信区间: $$ \mu \in\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$ 相应的置信区间观测值为: $$ \mu \in\left[\bar{x}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$ 如果要求 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间，则 一方面，由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \leq b\right)=1-\alpha$ ，可得 $b=u_{1-\alpha}$ ，即 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间的置信 另一方面，由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \geq a\right)=1-\alpha$ ，可得 $a=u_\alpha=-u_{1-\alpha}$ ，即 $\mu_{\text {的单侧 } 1-\alpha \text { 置信 }}$ 区间的置信下限为 $\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ，相应的 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $\left[\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right.$, $\left.+\infty\right)$.    
本系统使用
启明星知识库Kbase
搭建，最后更新于
2023-01-03 14:40
，如果您有意见或建议请点击
反馈
。