最后更新: 2025-07-18 06:55 查看: 614 次反馈同步训练

线性相关与线性无关

>注意：从本节开始，将进行线性代数非常抽象概念的核心地带，必须细细品读。

## 线性相关与线性无关的通俗解释
举一个简单的例子: 甲，乙，丙，丁，小周五个同学去野炊，其中甲，乙，丙，丁四人分别擅长搭帐篷，钓鱼，生火，做饭，而小周是全能，如果每个任务只能要一个人，这四人必有一人滥竽充数。

但是"这个滥竽充数的锅究竟在谁"是未知的: 可能是甲滥竽充数，因为小周可以代替甲的搭帐篷的工作，导致甲无事可做；也可能是小周滥竽充数，因为如果甲，乙，丙，丁四人各司其职，那么小周就在滥竽充数。那这个这个滥竽充数的原因是什么? 是因为某人的工作能被其他人代替。

那向量之间的线性相关是什么? 类似上面的案例，一组向量 $v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ 是线性相关，是指其中存在某个向量能被其他向量取代，而代替的方法是通过线性结合的方式。具体的定义的数学形式如下：

$$
\exists v_k: v_k=c_1 s_1+c_2 v_2+\ldots+c_{k-1} v_{k-1}+c_{k+1} v_{k+1}+\ldots+c_n v_n
$$

不难看出这里是 $v_k$ 可以被其他向量 $v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n$ 线性结合表示。

>**线性相关 = 有“替身”** (队伍里有可以被其他人完全替代或组合出来的成员，它是多余的)。

>**线性无关 = 都是“唯一”**  (队伍里每个成员都身怀绝技，缺一不可，没人能顶替别人的位置)。

再如 **盐（提供咸味） 和 糖（提供甜味） 线性无关**。因为你无法只用盐调出甜味，也无法只用糖调出咸味。盐和糖代表了两种独立、不可互相替代的基本味觉方向（咸和甜）。

但是，**盐（提供咸味）、 糖（提供甜味） 和 酱油（咸+鲜）线性相关**。酱油的味道可以被盐（提供咸）和糖（提供甜）组合出来吗？不能完全一样（酱油还有鲜味），但酱油的咸味部分是冗余的！酱油的咸味依赖于盐的存在。更关键的是，酱油的味道 不是独立于盐和糖的，它建立在咸（和鲜）的基础上。虽然酱油有额外的鲜味，但就“咸”这个维度而言，它与盐是相关的。数学上，可以考虑“咸度”分量，盐有咸度，酱油也有咸度（且无法仅用糖表示），糖没有咸度。但盐和酱油的咸度分量是线性相关的（一个倍数关系）。组合 **酱油 - k * 盐** (k是某个系数) 会得到一个没有咸味（可能只有鲜味）的向量，这说明了它们在这个风味分量上的相关性。
 酱油在“咸”这个风味维度上不是独立的，它依赖于盐所提供的咸味基础，如果目标是控制纯咸度，盐是更基础、更独立的向量。

关于线性相关与线性无关更通俗的解释清参考 [极大无关组的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=480)
 
## 线性相关与线性无关的定义
设有 $m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 如果存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}
$$

则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ **线性相关**；

若当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$ 时，才有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ **线性无关**.

下面给出一些线性相关的例子:

#### 两个向量线性相关:

两个向量：$\binom{1}{2}$ 和$\binom{2}{4}$

可以发现 $\binom{2}{4}=2\binom{1}{2} ，\binom{1}{2}=\frac{1}{2}\binom{2}{4} ，$ 每个向量都可以通过线性结合表示对方. 所以，这2个向量只要一个即可。

#### 三个向量线性相关:

$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right) \text { 和 }\left(\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
8
\end{array}\right)
$$

其中 $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)$ 可以被 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 通过线性结合表示: $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ ，所以它们是线性相关。

但是这个例子出的很巧，巧在其中 $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 本身就是线性相关的。
那三个向量线性相关和这三个向量其中有两个向量线性相关有什么关系呢?

首先，如果三个向量 $v_1, v_2, v_3$ 中有两个向量（比如 $v_1, v_2$ ）线性相关，这意味着 $v_1=k v_2$ 或者 $v_2=k v_1$ ，那么易得 $v_1=k v_2+0 v_3$ 或者 $v_2=k v_1+0 v_3$ ，这说明了这三个向量线性相关。

不过反过来，如果三个向量线性相关，是不是意味着其中一定有 2 个向量线性相关呢？答案是：不！举个例子: $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) ，\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)$ ，可以验证：其中任选 2 个向量都是线性无关的，但是二个放到一起，因为 $\cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，这三个向量是线性相关的。

那么理解了线性相关的定义，我们来验证一组向量是否是线性相关:

`例`$\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性相关吗?

解：首先我们要判断: $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 的线性结合表示，也就是假设 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$, 那么我们可以得到: $t_1+2 t_2=2, t_1+2 t_2=0$, $t_1+2 t_2=4$ ，显然这个方程组是无解的，但是这并不能说明这三个向量就不是线性相关，我们还需要判断判断 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 的线性结合表示, 可以发现 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，所以三个向量是线性相关的。

虽然找到了结果，但是这种方法操作性非常差，原因是需要一个个向量逐一验证是否能被其他向量线性结合表示。如果我们有 $n$ 个向量，想证明它们不是线性相关的，那意味着我们需要用上述的方法逐一证明它不能被其他向量通过线性结合表示，这种证明要进行 $n$ 次。所以如果采用这个定义去说明线性相关，虽然解释性强，但是操作性低。

那有没有操作性很强的证明线性相关的方法，可以参照下面这个定义:

## 判断线性相关的推论

> **如果存在一组不全为 0 的数 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ 使得 $t_1 v_1+t_2 v_2+\ldots+t_n v_n=0$ 则线性相关**。

我们对比两个线性相关的定义：
在第一个定义，我们有 $n-1$ 个系数，可以全部为 0 ；
在第二个定义，我们有 $n$ 个系数，不能全部为 0 ；

第二个定义看上去比较难理解，但是我们能证明它与第一个定义的等价性：
虽然这个新的定义看上去没有任何的解释性，但是操作性很强，比如对于上面同样的例子，如果用新的定义去处理，会简便不少，我们接下里会用之前的例子去证明这一点：

`例` 同上例  $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性相关吗?

解：首先我们可以假设三个实数 $t_1, t_2, t_3$ 使得

$$
t_1\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)+t_3\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 t_1+t_2+2 t_3=0 \\
t_2+2 t_3=0 \\
4 t_1+t_2+2 t_3=0
\end{array}\right.
$$

最后我们可以发现一组不全为零的 $t_1=0, t_2=-2, t_3=1$ 满足上式，所以它们线性相关。
用这种方法我们一次计算就能解决，不用像依据之前的定义那样一个个验证。
而线性无关就是线性相关的反义词，也就是在线性相关的定义的"存在"前面加一个"不"即可。

**提示1：这样，我们把对线性相关与线性无关的判断转移到求方程组的解上面来了。**

`例`对于向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)$ ，存在一组不全为零的数 $2,-1,0$ 使得 $2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3=2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0 \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)=\mathbf{0}$,

所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关.

`例`设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)$, 判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性.
按照向量组

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