最后更新: 2025-07-19 07:33 查看: 473 次反馈同步训练

向量组秩的概念

## 向量组秩的概念
在 [向量组的等价](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=478) 里说过，向量组的秩代表向量组成的维数。

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量共线。

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体。
 
 以此类推，但是上面是通俗的解释，我们需要有严格的数学定义。

**定义**
设 $A$ 是一个 $n$ 维向量组（它可以包含无限多个向量），如果在 $A$ 中取出 $r$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 满足条件:
(1) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关；
(2) 对于 $A$ 中任意的向量 $\beta$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关， 则称向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 为向量组 $A$ 的一个极大线性无关组，简称极大无关组.
由极大无关组的定义可知，向量组 $A$ 中任一向量都可由它的极大无关组线性表示. 反之，极大无关组 作为向量组 $A$ 的部分组，一定可由向量组 $A$ 线性表示， 因而向量组 $A$ 与它自身的极大无关组总是 等价的. 向量组 $A$ 中所含向量的个数有可能是无限多个，但是它的极大无关组所含向量的个数不会 超过向量的维数，从而一定是有限的. 用向量组的极大无关组来代替向量组，会给我们的讨论带来极 大的方便.

`例`$n$ 维单位坐标向量组 $E: \boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{e}_n=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$ 线性无关， 所以该向量组的极大无关组就是它本身.

`例`设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 12 \\ 7\end{array}\right)$
向量 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 的分量不对应 成比例，
所以 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关. 另外，由于 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$ 所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关.
向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关组.

类似的讨论可知，向量组 $\alpha_2, \alpha_3$ ， 向量组 $\alpha_1, \alpha_3$ 都可作为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关 组. 也就是说，一个向量组的极大无关组并不是唯一的. 向量组与其任意一个极大无关 组是相互等价的，由向量组等价的传递性可知，向量组的任意两个极大无关组相互等价. 向量组的每一个极大无关组所含向量的个数总是相等的. 于是，我们引入如下定义:

## 向量组秩的定义
向量组 $A$ 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个**向量组的秩**，记为 $R_A$

例如，例1中的向量组的秩 $R_E=n$ ，例 2 中的向量组的秩 $R_A=2$

**如果一个向量组只含有零向量，则它没有极大无关组，此时我们规定它的秩为零.**

上面说过，秩等于维数，在例2里，他的秩为2，表示这3个向量共面，我们可以在三维空间里把这3个向量画出来。

$\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 12 \\ 7\end{array}\right)$

示意图如下，可以看到 $\alpha_1,\alpha_2$ 所张的平面，包含了$\alpha_3$. 当然你也可以说 $\alpha_2,\alpha_3$ 所张的平面，包含了$\alpha_1$ 这不重要，重要的是这3个向量，要2个就可以了。

![图片](/uploads/2025-07/812453.jpg){width=400px}

注意：
(1) 对于一组向量 $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_2$ 具有 $0 \le 秩 \le s$
(2) $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_2$ 线性无关 等价于$r(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_2)=s$
(3) $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_2$ 线性相关 等价于$r(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_2)<s$

### 定理1 等价的向量组有相同的秩.
证明
因为每个向量组都与它的极大无关组等价，根据向量组等价的传递性，
任意两个等价的向量组的极大无关组也等价，因而有相同的秩.

`例`证明: 一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数.
证明：如果一个向量组本身线性无关，则这个向量组的极大无关组就是它自身，于是它的秩等于它所含向量的个数; 如果一个向量组的秩等于它所含向量的个数，则这个向量组显然是线性无关的.

`例`证明: 任 一$n$维向量组  $A$的秩 $ R_A \leq n$.
证明
因为 $n+1$ 个 $n$ 维向量必定线性相关，
所以 $n$ 维向量组 $A$ 的极大无关组中所含向量个数不能超过 $n$ 个，
即 $R_A \leq n$.

## 例题

`例`设 $A , B$ 均为 $m \times n$ 矩阵，证明

$$
r( A + B ) \leqslant r( A )+r( B )
$$

证明：设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 与 $B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$ ，则

$$
A + B =\left( \alpha _1+ \beta _

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