向量组秩的概念

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 47 次更新导出Word

**定义**
设 $A$ 是一个 $n$ 维向量组（它可以包含无限多个向量），如果在 $A$ 中取出 $r$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 满足条件:
(1) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关；
(2) 对于 $A$ 中任意的向量 $\beta$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关， 则称向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 为向量组 $A$ 的一个极大线性无关组，简称极大无关组.
由极大无关组的定义可知，向量组 $A$ 中任一向量都可由它的极大无关组线性表示. 反之，极大无关组 作为向量组 $A$ 的部分组，一定可由向量组 $A$ 线性表示， 因而向量组 $A$ 与它自身的极大无关组总是 等价的. 向量组 $A$ 中所含向量的个数有可能是无限多个，但是它的极大无关组所含向量的个数不会 超过向量的维数，从而一定是有限的. 用向量组的极大无关组来代替向量组，会给我们的讨论带来极 大的方便.

例1
$n$ 维单位坐标向量组 $E: \boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{e}_n=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$ 线性无关， 所以该向量组的极大无关组就是它本身.

例2
设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 12 \\ 7\end{array}\right)$
向量 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 的分量不对应 成比例，
所以 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关. 另外，由于 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$ 所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关.
向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关组.

类似的讨论可知，向量组 $\alpha_2, \alpha_3$ ， 向量组 $\alpha_1, \alpha_3$ 都可作为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关 组. 也就是说，一个向量组的极大无关组并不是唯一的. 向量组与其任意一个极大无关 组是相互等价的，由向量组等价的传递性可知，向量组的任意两个极大无关组相互等价. 向量组的每一个极大无关组所含向量的个数总是相等的. 于是，我们引入如下定义:
定义2
向量组 $A$ 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为 $R_A$
例如，例1中的向量组的秩 $R_E=n$ ，例 2 中的向量组的秩 $R_A=2$
如果一个向量组只含有零向量，则它没有极大无关组，此时我们规定它的秩为零.
定理1 等价的向量组有相同的秩.
证明
因为每个向量组都与它的极大无关组等价，根据向量组等价的传递性，
任意两个等价的向量组的极大无关组也等价，因而有相同的秩.
例3
证明: 一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数.
证明
如果一个向量组本身线性无关，则这个向量组的极大无关组就是它自身，于是它的秩等于 它所含向量的个数; 如果一个向量组的秩等于它所含向量的个数，则这个向量组显然是线性无 关的.
例4
证明: 任 一$n$维向量组  $A$的秩 $ R_A \leq n$.
证明
因为 $n+1$ 个 $n$ 维向量必定线性相关，
所以 $n$ 维向量组 $A$ 的极大无关组中所含向量个数不能超过 $n$ 个，
即 $R_A \leq n$.

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