两个正态总体均值差的假设检验

日期: 2023-01-03 15:16 查看: 69 次

设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_m\right)$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 的一个简单随机样本， $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 是取自总体 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ 的一个简单随机样本，两个总体相互 独立。
定义

$$
\begin{aligned}
& \bar{X}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \\
& S_X^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2, \\
& S_w^2=\frac{(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2}{m+n-2}
\end{aligned}
$$

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01方差 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知时的均值 $\mu_1-\mu_2$ 检验
02方差 $\sigma_1^2=\sigma_2^2 \square \sigma^2$ 末知时的均值 $\mu_1-\mu_2$ 检验

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取检验统计量

$$
Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0,1)
$$

当 $H_0: \mu_1=\mu_2$ 成立时，

$$
Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0,1)
$$

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(2) 方差 $\sigma_1^2=\sigma_2^2 \square \sigma^2$ 末知时的均值 $\mu_1-\mu_2$ 检验
当 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 末知时， $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{S_w \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}} \sim t(m+n-2)$
当 $H_0: \mu_1=\mu_2$ 成立时，取检验统计量 $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}} \sim t(m+n-2)$.

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例7
设从两个正态总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1{ }^2\right) ， Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2{ }^2\right)$ 中分别抽取两个样本 $\left(X_1, X_2, \cdots \cdots, X_m\right)$ 和 $\left(Y_1, Y_2, \cdots \cdots Y_n\right)$ ，其中 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均末知. 假定 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，在显 著性水平 $\alpha$ 下，要检验

$$
H_0: \mu_1=\mu_2+\delta \leftrightarrow H_1: \mu_1 \neq \mu_2+\delta,
$$

其中， $\delta$ 是已知常数. 试求拒绝域 $W$.
解 记 $\theta=\mu_1-\mu_2$ ，要检验 $H_0: \mu_1=\mu_2+\delta \leftrightarrow H_1: \mu_1 \neq \mu_2+\delta$
即检验 $H_0: \theta=\delta \leftrightarrow H_1: \theta \neq \delta$ ，
$\theta$ 的点估计取 $\bar{X}-\bar{Y}$ ，构造检验统计量 $T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta}{S_w \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$ ，

当 $H_0$ 成立时， $T \sim t(\mathrm{~m}+\mathrm{n}-2)$ ，
因此拒绝域为 $W=\left\{|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(\mathrm{~m}+\mathrm{n}-2)\right\}$.

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