最后更新: 2025-03-06 21:44 查看: 660 次反馈刷题

向量组的秩与矩阵的秩的关系

## 向量组的秩与矩阵的秩的关系

> 矩阵的行向量组的秩与它的列向量组的秩相等，都等于矩阵的秩.

> 我们先把大结论说出来：矩阵的反应的是方程组有效的方程的个数，而向量组的秩，反应的是向量组成的空间。

举例，如下一个方程组
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 +x_2= 0 \\
2x_2+2 x_2=0
\end{array}
\right.
$$
①写出他的系数矩阵，可以得到他的秩为1.
而如果我们从方程看，虽然这里有2个方程，但是第二个方程是第一个方程的2倍，所以，第二个方程是滥竽充数的。因此方程有效的个数是1.
因此，我们得到一个结论：矩阵的秩，本质上反映的是有效方程的个数。详见[矩阵的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1863)

②仍然以上面方程为例，写出向量为 $(1,1)$ 和$(2,2)$ ，虽然这里有2个向量，但是他们是共线的，因此是线性相关，这2个向量组成向量组的秩为1. 因此，对于向量组含有n个向量，如果秩等于1表示这n个向量共线；如果秩等于2，表示这n个向量组共面；如果秩等于3，表示这n个向量组共体，一次类推，详见 [向量组的等价](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=478)

## 证明
证明 设 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \mathrm{~L} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \mathrm{~L} & a_{2 n} \\ ...& ... & ... & ... \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \mathrm{~L} & a_{m n}\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, ,..., \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\ ...  \\ \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$ 的行向量组是 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}... \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ ， 列向量组是 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2... \boldsymbol{\alpha}_n$. 且行向量组的秩记为 $R_{\text {row }}$ ，列向量组的秩记为 $R_{\text {col }}$ ，

我们先证明 $R_{\text {col }}=R(A)$.
设 $R(\boldsymbol{A})=r$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有阶数大于 $r$ 的子式全为零. 不妨设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 行、 $r$ 列构成的 $r$ 阶子式是非零子式，

$$
D_r=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_{r r}
\end{array}\right| \neq 0
$$

下面我们证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 个列向量就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的一个极大无关组从而有 $R_{c o l}=R(A)$.

$$
\text { 由 }\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_r
\end{array}\right| \neq 0 \text { 知齐次线性方程组 }
$$

$$
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_{r r}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

（1）只有零解，
因而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{rj}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 线性无关. 又因为齐次线性方程组

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_r \\
a_{r+1,1} & a_{r+1,2} & \cdots & a_{r+1, r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m r}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

（2）的解一定是方程组 (1) 的解，
由方程组(1)只有零解可知，齐次线性方程组(2)一定也只有零解，
所以（由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{r j}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 的每个向量填加若干分量所得的）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 也线性无关.
接下来证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的每一个列向量 $\boldsymbol{\alpha}_k(k=1,2, \cdots, n)$ 均可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示.
当 $1 \leq k \leq r$ 时，显然 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示. 当 $r+1 \leq k \leq n$ 时，构作矩阵

$$
\boldsymbol{A}^{\prime}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\alpha}_k\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} & a_{1 k} \\
a_{21} & \cdots & a_{2 r} & a_{2 k} \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m r} & a_{m k}
\end{array}\right) \text {, }
$$

$A^{\prime}$ 中的所有子式均是 $A$ 中的子式.
从而 $A^{\prime}$ 中存在一个不为零的 $r$ 阶子式 $D_r$ ，所有 $r+1$ 阶子式均为零，因此 $R\left(A^{\prime}\right)=r$.
考虑齐次线性方程组

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} & a_{1 k} \\
a_{21} & \cdots & a_{2 r} & a_{2 k} \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m r} & a_{m k}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_{r+1}
\end{array}\right)=\mathbf{0},
$$

由于系数矩阵的秩 $R\left(A^{\prime}\right)=r$ ，小于末知量的个数 $r+1$ ，
所以该齐次线性方程组一定有非零解，
从而向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \alpha_k$ 线性相关， 因此， $\alpha_k$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 线性表示.
由以上的讨论可知，向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 就是矩阵 $A$ 的列向量组的一个极大无关组，
从而有 $R_{\text {col }}=r=R(A)$.
由于矩阵 $A$ 的行向量组是矩阵 $A^{\mathrm{T}}$ 的列向量组，所以有 $R_{\text {row }}=R\left(A^{\mathrm{T}}\right)=R(A)$.

`例`求向量组 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ -3 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{c}5 \\ 0 \\ 15 \\ -10\end{array}\right), \alpha _4=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -6 \\ 5\end{array}\right), \alpha _5=\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 5 \\ -4\end{array}\right)$
的秩和一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示．

解 令矩阵
$$
\begin{aligned}
& A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5\right) \text { ，对矩阵 } A \text { 实施初等行变换化为行最简形矩阵 } R \text { ：}\\
&A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 5 & -2 & 2 \\
2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
3 & -3 & 15 & -6 & 5 \\
0 & 1 & -10 & 5 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 5 & -2 & 2 \\
0 & 1 & -10 & 5 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -10 & 5 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -5 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -10 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4, \beta _5\right)= R
\end{aligned}
$$

由 $R( R )=3$ 可知 $R( A )=3 . R$ 中的 3 阶非零子式为 $\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=1 \neq 0$ ，
所以 $\beta _1, \beta _2, \beta _5$ 是 $R$ 的列向量组的极大无关组，且

$$
\beta _3=-5 \beta _1-10 \beta _2+0 \cdot \beta _5, \quad \beta _4=3 \beta _1+5 \beta _2+0 \cdot \beta _5
$$

由于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 与向量组 $\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4, \beta _5$ 有相同的线性相关性，所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的极大无关组，

且有

$$
\alpha _3=-5 \alpha _1-10 \alpha _2+0 \cdot \alpha _5, \quad \alpha _4=3 \alpha _1+5 \alpha _2+0 \cdot \alpha _5 .
$$

> 请读者务必深刻体会本例的精髓

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