最后更新: 2025-07-19 09:03 查看: 785 次反馈同步训练

向量组的秩与矩阵的秩的关系

## 向量组的秩与矩阵的秩的关系

> **矩阵的秩 等于 行向量组的秩 等于 列向量组的秩**

> **矩阵的秩反应的是方程组有效的方程的个数，而向量组的秩，反应的是向量组成的空间维度。**

举例，如下一个方程组
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 +x_2= 0 \\
2x_2+2 x_2=0
\end{array}
\right.
$$
①写出他的系数矩阵，可以得到他的秩为1.
而如果我们从方程看，虽然这里有2个方程，但是第二个方程是第一个方程的2倍，所以，第二个方程是滥竽充数的。因此方程有效的个数是1.
因此，我们得到一个结论：矩阵的秩，本质上反映的是有效方程的个数。详见[矩阵的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1863)

②仍然以上面方程为例，写出向量为 $(1,1)$ 和$(2,2)$ ，虽然这里有2个向量，但是他们是共线的，因此是线性相关，这2个向量组成向量组的秩为1. 因此，对于向量组含有n个向量，如果秩等于1表示这n个向量共线；如果秩等于2，表示这n个向量组共面；如果秩等于3，表示这n个向量组共体，一次类推，详见 [向量组的等价](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=478)

## 证明
证明 设 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \mathrm{~L} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \mathrm{~L} & a_{2 n} \\ ...& ... & ... & ... \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \mathrm{~L} & a_{m n}\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, ,..., \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\ ...  \\ \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$ 的行向量组是 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}... \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ ， 列向量组是 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2... \boldsymbol{\alpha}_n$. 且行向量组的秩记为 $R_{\text {row }}$ ，列向量组的秩记为 $R_{\text {col }}$ ，

我们先证明 $R_{\text {col }}=R(A)$.
设 $R(\boldsymbol{A})=r$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有阶数大于 $r$ 的子式全为零. 不妨设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 行、 $r$ 列构成的 $r$ 阶子式是非零子式，

$$
D_r=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_{r r}
\end{array}\right| \neq 0
$$

下面我们证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 个列向量就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的一个极大无关组从而有 $R_{c o l}=R(A)$.

$$
\text { 由 }\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_r
\end{array}\right| \neq 0 \text { 知齐次线性方程组 }
$$

$$
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_{r r}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

（1）只有零解，
因而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{rj}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 线性无关. 又因为齐次线性方程组

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_r \\
a_{r+1,1} & a_{r+1,2} & \cdots & a_{r+1, r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m r}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

（2）的解一定是方程组 (1) 的解，
由方程组(1)只有零解可知，齐次线性方程组(2)一定也只有零解，
所以（由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{r j}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 的每个向量填加若干分量所得的）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 也线性无关.
接下来证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的每一个列向量 $\boldsymbol{\alpha}_k(k=1,2, \cdots, n)$ 均可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示.
当 $1 \leq k \leq r$ 时，显然 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示. 当 $r+1 \leq k \leq n$ 时，构作矩阵

$$
\boldsymbol{A}^{\prime}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\alpha}_k\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} & a_{1 k} \\
a_{21} & \cdots & a_{2 r} & a_{2 k}

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