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线性代数
第四篇 线性方程组的解
线性方程组有解的几何意义
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2025-01-07 21:55
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线性方程组有解的几何意义
## 方程组解的几何意义 对于方程组: $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x_1+b_1 x_2=c_1 ...①\\ a_2 x_1+b_2 x_2=c_2 ...② \end{array}\right. $$ 从高中解析几何的知识我们知道上面①和②各表示一根直线, 如果用$L$来表示这两条直线,上面可以写成 $$ \left\{\begin{array}{l} L_1: x_2=-\dfrac{a_1}{b_1} x_1 + \dfrac{c_2}{b_1} \\ L_2: x_2=-\dfrac{a_2}{b_2} x_1 + \dfrac{c_2}{b_2} \end{array}\right. $$ 因为两条直线有 相交、重合和平行三种位置关系,对应其解分别是只有一个解,有无穷多个解和无解。 ### 方程组的解 ① 我们观察更具体的二元一次方程组,例如 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right. $$ 分别画出他们的直线方程,如下图 {width=300px} 可以发现,他们只有一个交点,因此方程有一个解。 $$ \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=1 \end{array}\right. $$ ② 同样的,观察下面两个方程 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+2y=6 \end{array}\right. $$ 画出他们的图形 {width=300px} 可以看到,他们有重合,因此有无穷多个解。 事实上,第二个方程是第一个方程乘以2得到的,因此这两个方程最大的特点是系数成比例。 ③观察下面两个方程 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+2y=8 \end{array}\right. $$ 画出他们的图形 {width=300px} 可以看到他们是平行的,因此方程组无解。 事实上,第二个方程减去第一个方程的2倍,可以得到 $0=2$ 这显然是矛盾的,因此方程组无解。 到这里我们可以有一个简单的结论: **有解的条件** 当 $r({A})=n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性无关), 方程组 (I) 有唯一零解; 当 $r({A})=r<n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性相关), 方程组 ( I ) 有非零解, 且有 $n-r$ 个线性无关解。 这里 $r(A)$ 表示的矩阵的秩,而$n$表示未知数的个数。 ## 齐次线性方程与非齐次线性方程 对于线性方程组,等号右侧都为0的方程称为齐次线性方程,不全为0的称为非齐次线性方程。 例如 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=0\\ 2x+y=0 \end{array}\right. $$ 是齐次线性方程 而 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right. $$ 则是非齐次线性方程。 我们很容易得到,齐次线性方程一定有一个0解。但是对于齐次线性方程,我们更感兴趣的是非0解。后面我们会先研究齐次线性方程组的解系,再研究非齐次线性方程组的解系。当我们学会了齐次线性方程组的解系后,再加上常数就是非齐次线性方程组的解系(或者说,齐次线性图形经过平移后,就可以得到非齐次线性方程的图像)。 ## 系数矩阵与增广矩阵 对于 $$ \left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right. $$ 我们把他的系数提取出来,写成矩阵,就称为系数矩阵。如 $$ A= \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] $$ 如果把等号右边的值也加进来,就称为增广矩阵,通常用一个竖线分割。 $$ A|b= \left[\begin{array}{ll:l} 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 5 \end{array}\right] $$ ### 推广到三个3元方程组的情况 对于二元一次方程组得到的解的结论,是否可以扩展到3元方程组的情况呢?答案是肯定的,如下 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right) \end{array}\right. $$ 从空间看,每个方程都表示一个平面,所以,他表示的是空间的三个平面的关系,容易知道,空间中,三个平面共有8种情况,如下图  根据线性方程组的秩及其解的不同情况, 我们可以这样总结并定义线性方程组的分类: > 在这里, 我们要记住所有《线性代数》教材普遍使用的约定: $m 、 n 、 r 、 r_c$ 代表的含义如下: 设矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵, 增广矩阵 $\overline{\boldsymbol{A}}=[\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]$ 的秩为 $r_c$ 。 $m$ : 表示原方程组中方程的个数或者系数矩阵 $A$ 的行数,化简后 $m$ 一般会变小。 $n$ :表示原方程组中变元 $x_i$ 的个数或者系数矩阵 $A$ 的列数,化简后 $n$ 一般也会变小。 $r:$ 表示化简后变元 $x_i$ 的个数(他也是系数矩阵的秩),化简后 $r$ 可能会变小,即 $r \leqslant n$ 。 $r_c$ : 表示化简后方程的个数(他也是增广矩阵的秩),化简后 $r_c$ 可能会变小,即 $r \leqslant m_{\circ}$ 当 $r=r_c=n$ 方程组有解 当 $r=r_c<n$ 方程组有无数解 当 $ r<r_c $ 方程组误解。 下面将通过介绍3元线性方程组的解法来引入方程组解的意义,理解了三元方程,再推广到n元就不难了。 ## 三元线性方程组的解法 如果用二元一次方程 $a x+b y+c=0(a, b$ 不同时为 0$)$ 表示平面内的直线, 那么联立两条直线的方程就得到方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x+b_1 y+c_1=0, \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0 . \end{array}\right. ...(1) $$ 当方程组无解时, 这两条直线平行; 当方程组有唯一解时, 两条直线相交; 当方程组有无穷多个解时, 两条直线重合. 将上述情况推广到空间, 在空间直角坐标系中, 用三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ $(a, b, c$ 不同时为 0$)$ 表示空间中的平面 $\mathbf{Q}$, 如下定义三元线性方程组. **定义1** 把含有三个未知量的一次方程组称为三元线性方程组 (system of ternary linear equations). 例如, 方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+2 x_2+3 x_3=3, \\ 4 x_1+7 x_2+7 x_3=1 \end{array}\right. $$ 就是三元线性方程组. **例1** 解线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ -2 x_1+4 x_2+5 x_3 & =-7, \\ 4 x_1+7 x_2+7 x_3 & =1 . \end{aligned}\right. $$ 解: 将第一个方程加到第二个方程, 再将第一个方程乘 $-2$ 加到第三个方程上, 得 $$ \left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ 6 x_2+8 x_3 & =-4, \\ 3 x_2+x_3 & =-5, \end{aligned}\right. $$ 在上式中交换第二个方程和第三个方程, 然后把新的第二个方程乘 $-2$ 加到新的第三个方程上, 得 $$ \left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ 3 x_2+x_3 & =-5, \\ 6 x_3 & =6, \end{aligned}\right. ... (2) $$ 由此可得 $x_3=1$. 将 $x_3=1$ 代人方程组 (2) 中, 得 $x_2=-2, x_1=2$. 因此, 这个方程组的解是 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=2, \\ x_2=-2, \\ x_3=1 \end{array}\right. $$ 分析上述例子, 在解方程组的过程中进行了三种变换: (1)互换变换,即交换两个方程的位置; (2)倍法变换,即用一个非零常数乘某个方程; (3)消法变换, 即用一个常数乘某一个方程加到另一个方程上. 这些变换统称为线性方程组的初等变换,是高斯消元法的精髓. **定理1** 初等变换保持线性方程组同解. **证明** 只需要证明进行一次初等变换保持方程组同解. 变换(1)(2)的证明是容易的. 下面证明变换(3)不改变方程组的解. 设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2 \end{array}\right. $$ 的任意一个解是 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$, 经过变换(3)得到的方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) x_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) x_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) x_3=\lambda b_1+b_2 . \end{array}\right. ...(4) $$ 将 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 代人 $\left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) x_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) x_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) x_3$, 得到 $$ \begin{aligned} & \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) c_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) c_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) c_3 \\ = & \lambda\left(a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3\right)+a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=\lambda b_1+b_2 . \end{aligned} $$ 由此可见, $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是线性方程组 (4) 的解. 另一方面, 设 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是方程组 (4) 的任意一个解, 则 $$ \begin{aligned} & \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) c_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) c_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) c_3 \\ = & \lambda b_1+b_2, \end{aligned} $$ 即 $$ \lambda\left(a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3\right)+a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=\lambda b_1+b_2 . $$ 又因为 $a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3=b_1$, 所以 $$ a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=b_2 . $$ 故 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是方程组 (3) 的解. 因此变换(3)不改变方程组的解. **定义2** 线性方程组的系数所组成的矩阵称为该线性方程组的系数矩阵 (coefficient matrix). 设线性方程组为 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2, \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3, \end{array}\right. ...(5) $$ 则系数矩阵是 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right), $$ 并且称矩阵 $$ \left(\begin{array}{lll|l} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right) $$ 为线性方程组的增广矩阵 (augmented matrix). 设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right.$, $\left.b_3\right)^{\mathrm{T}}$, 则方程组 (5) 可以写成矩阵形式 $$ A x=b $$ **定义3** 称满足方程组(5)的三元有序数组为这个三元线性方程组的一个解(solution), 表示为列向量形式 $\xi=\left(k_1, k_2, k_3\right)^{\mathrm{T}}$, 也称 $\xi$ 是方程组的一个**解向量** (solution vector). **例2** 解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=1, \\ x_1-x_2-x_3=3, \\ 2 x_1-2 x_2-x_3=3 . \end{array}\right. $$ 解:这个线性方程组的增广矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 3 \end{array}\right), $$ 将第一行乘 -1 加到第二行, 再将第一行乘 -2 加到第三行, 得 $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right), $$ 将第二行乘 $\left(-\frac{3}{2}\right)$ 加到第三行, 再将第二行乘 $\left(-\frac{1}{2}\right)$, 得 $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right), $$ 相应的方程组变为阶梯形方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1-x_2+x_3 & =1 \\ x_3 & =-1 \\ 0 & =-2 \end{aligned}\right. $$ $x_1, x_2, x_3$ 无论取什么值都不能满足 $0=-2$, 因此, 原线性方程组无解. **定义4** 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, 称以下三种变换 (1)互换变换,即交换 $\boldsymbol{A}$ 的某两行(列), (2)倍法变换,即用一个非零常数乘 $\boldsymbol{A}$ 的某一行(列), (3)消法变换, 即用一个常数乘 $\boldsymbol{A}$ 的某一行(列)后加到另一行(列)上为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行(列)初等变换. 把行和列的初等变换统称为矩阵的初等变换. 从例 2 可以看到, 线性方程组的初等变换可以转化为对应增广矩阵的行初等变换. 矩阵行初等变换的表示形式如下. (1)矩阵互换变换 将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行互换, 如交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行和第 3 行可以表示为 $$ \left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{\left(r_2, r_3\right)}\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right) . $$ (2)矩阵倍法变换 用一个非零常数 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行, 如用 3 乘 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行可以表示为 $$ \left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{3 r_2}\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 3 a_{21} & 3 a_{22} & 3 a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) . $$ (3)矩阵消法变换 用 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $j$ 行后加到第 $i$ 行, 如用 2 乘 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行后加到第 1 行上, 可以表示为 $$ \left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{2 r_3+r_1}\left(\begin{array}{ccc} a_{11}+2 a_{31} & a_{12}+2 a_{32} & a_{13}+2 a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) . $$ **例3** 解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2+x_3=3, \\ 3 x_1+3 x_2+x_3=0, \\ -2 x_1-x_2+2 x_3=6 . \end{array}\right. $$ 解:对线性方程组的增广矩阵作行初等变换, 将增广矩阵变换为阶梯形矩阵.  因此, 这个线性方程组的解为 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=1, \\ x_2=-2, \\ x_3=3 . \end{array}\right. $$
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