日期: 2024-03-25 08:39 查看: 67 次编辑导出本文

超越函数

数学领域，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是 “超出” 代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。

严格的说，关于变量 $z$ 的解析函数 $f(z)$ 是超越函数，如果该函数是关于变量 $z$ 是代数无关的。
对数和指数函数即为超越函数的例子，超越函数这个名词通常被拿来描述二角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、正切、余切等。
非超越函数称为代数函数，代数函数的例子有多项式和平方根函数。
对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数，如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中，对倒数函数 $y=1 / x$ 不定积分得到的，以此方式得到的双曲函数 $\sinh , \cosh , \tanh$ 等皆为超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类 “标准” 函数代数无关的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

## 量纲分析

在量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如， $\log (10 \mathrm{~cm})$ 是个毫无意义的表示式。 $\log (10 \mathrm{~cm})$ 不同于 $\log (5 \mathrm{~cm} / 3 \mathrm{~cm})$ 和 $(\log 10) \mathrm{cm}$ ，后两者是有实际意义的。利用对数恒等式，将 $\log (10 \mathrm{~cm})$ 展开为 $\log 10+\log (1 \mathrm{~cm})$ 能够更清晰的说明该问题: 一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果。

## 一些例子

以下列出的函数都是超越函数：除了少数特殊的情况，对于一般的 $x$ 不能通过有限次代数运算求出 $f(x)$ :

$$
\begin{aligned}
& f_1(x)=x^\pi \\
& f_2(x)=c^x \quad(c \neq 0,1) \\
& f_3(x)=x^x \\
& f_4(x)=x^{\frac{1}{x}} \\
& f_5(x)=\log _c x \quad(c \neq 0,1)
\end{aligned}
$$

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