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概率论与数理统计
复习1:基本概念与概率公式
日期:
2024-03-27 14:23
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复习1:基本概念与概率公式
## 事件的基本运算 交换律 $A \cup B=B \cup A ; A \cap B=B \cap A$. 结合律 $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C ; A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$. 分配律 $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) ; $. $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 德.摩根律 (对偶律) $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$. 在知识库 [随机事件之间的关系与运算](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=515) 里介绍了事件的详细内容。下面列出了7种常见的事件问题模型。 ![图片](http://kb.kmath.cn/uploads/2023-01/image_20230103fa36373.png){width=600px} #### 典型例题 某人给四位亲友各写一封信, 然后随机地装人 4 个写好地址的信封中, 且每个信封装一封信. 问: (1) 4 封信都装对了的概率; (2) 4 封信都装错了的概率. 解 设事件 $A_i(i=1,2,3,4)$ 为“第 $i$ 封信装对了”, 事件 $A$ 为“ 4 封信都装对了”, 事件 $B$ 为“ 4 封信都装错了”. 于是 $$ \begin{aligned} (1) P(A) & =P\left(A_1 A_2 A_3 A_4\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right) P\left(A_3 \mid A_1 A_2\right) P\left(A_4 \mid A_1 A_2 A_3\right) \\ & =\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1}=\frac{1}{24} . \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (2) P(B)= & P\left(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4}\right) \\ = & 1-P\left(\overline{\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4}}\right)=1-P\left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4\right) \\ = & 1-\left\{P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+P\left(A_4\right)-\right. \\ & {\left[P\left(A_1 A_2\right)+P\left(A_1 A_3\right)+P\left(A_1 A_4\right)+P\left(A_2 A_3\right)+P\left(A_2 A_4\right)+P\left(A_3 A_4\right)\right]+} \\ & {\left.\left[P\left(A_1 A_2 A_3\right)+P\left(A_1 A_2 A_4\right)+P\left(A_1 A_3 A_4\right)+P\left(A_2 A_3 A_4\right)\right]-P\left(A_1 A_2 A_3 A_4\right)\right\} } \end{aligned} $$ 其中 $P\left(A_i\right)=\frac{1}{4}, P\left(A_i A_j\right)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}, P\left(A_i A_j A_k\right)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{24}(1 \leqslant i, j, k \leqslant 4, i \neq j \neq k)$,于是 $$ P(B)=1-4 \times \frac{1}{4}+6 \times \frac{1}{12}-4 \times \frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{3}{8} . $$ ## 条件概率 设事件 $A, B$ 是随机试验 $\Omega$ 中的两个事件. 若 $P(B)>0$ 称 $$ P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)} $$ 为事件 $B$ 发生条件下事件 $A$ 发生的条件概率. 推广到 $n$ 个事件 $$ P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right) $$ ## Bayes 贝叶斯公式 设 $\left\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\right\}$ 是样本空间的一个分割 (其中暗含了 $P\left(B_{i}\right)>0$ ), $A$ 是 $\Omega$ 中的一个事件, 且 $P(A)>0$, 那么 $$ P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i} A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A \mid B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)} $$ > 全概率公式和贝叶斯公式的理解。全概率公式和贝叶斯公式是互为因果。比如一个人感冒了发热的概率为80%,感染新冠会发热的概率为60%,得了癌症会发热的概率为70%,问这个人在感冒的情况下得癌症的概率这可以理解为全概率公式。 如果一个人发热了,问他是感冒的概率是多少,这是贝叶斯公式。换句话说,贝叶斯公式是知道这个人发热了(结果),我要倒推原因(是哪种疾病引起的),而全概率是知道了原因(比如得了癌症),问他的结果(比如发热的概率,注意得了癌症除了发热可能还有消瘦,食欲不振等结果) #### 典型例题 1.一台设备由 10 个元件组成,在保修期间,每个元件的失效率为 0.05 ,各元件是否失效是相互独立的,若有一个元件失效,设备不能使用的概率为 0.5 ,若有两个元件失效,设备不能使用的概率是 0.8 ,若有三个或者三个以上的元件失效,设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期内不能使用的概率; (2)已知设备不能使用,求是一个元件失效的概率。 解:(1) 完备事件组: 设有 $i$ 个元件失效为事件 $A_i, i=0,1,2$; 3 个及 3 个以上失效为事件 $A_{3+}$. 应用伯努利试验概率有: $P\left(A_i\right)=C_{10}^i(0.05)^i(0.95)^{10-i}, i=0,1,2$ $$ \text { 从而 } P\left(A_{3+}\right)=1-\sum_{i=0}^2 P\left(A_i\right) $$ 设设备在保修期内不能使用为事件 $B$, 题目要求 $P(B)$, 依照题意: $$ \begin{gathered} P\left(B \mid A_0\right)=0 ; P\left(B \mid A_1\right)=0.5 ; \\ P\left(B \mid A_2\right)=0.8 ; P\left(B \mid A_{3+}\right)=1 ; \end{gathered} $$ 应用全概率公式, 可得: $P(B)=\sum_{i=0}^2 P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)+P\left(A_{3+}\right) P\left(B \mid A_{3+}\right) \doteq 0.2288$ (2) 题目要求 $P\left(A_1 \mid B\right)$, 利用贝叶斯公式可得: $$ P\left(A_1 \mid B\right)=\frac{P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)}{P(B)} \doteq 0.6886 $$ 2.设某种产品 50 件为一批,如果每批产品中有 $0 , 1 , 2 , 3 , 4$ 件次品的概率分别为 $0.35 , 0.25$ , $0.2 , 0.18 , 0.02$ ,今从某批产品中抽取 10 件,查出一件次品,求该批产品中次品不超过 2 件的概率。 解:设 $A_i=\{$ 一批产品中有 $\mathbf{i}$ 件次品 $\}(i=0,1,2,3,4)$, 这是一个完备事件组, $B=\{$ 任抽 10 件检查出一件次品 $\}$, 依题 : $$ \begin{aligned} & \text { 有 } P\left(A_0\right)=0.35, P\left(A_1\right)=0.25, P\left(A_2\right)=0.20, \\ & P\left(A_3\right)=0.18, P\left(A_4\right)=0.02 . \\ & \text { 而 } P\left(B \mid A_0\right)=0, P\left(B \mid A_i\right)=\frac{C_i^1 C_{50-i}^9}{C_{50}^{10}},(i=1,2,3,4) . \end{aligned} $$ 则求 $P(B)$ 要依照全概率公式: $$ P(B)=\sum_{i=0}^4 P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right) $$ 依照题目要求, 要计算 $P\left(A_0 \mid B\right)+P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$, 根据贝叶斯公式可得: $$ \sum_{i=0}^2 P\left(A_i \mid B\right)=\sum_{i=0}^2 \frac{P\left(B \mid A_i\right) P\left(A_i\right)}{P(B)} \doteq 0.588 $$ ## 概率论五大公式 ### 加法公式 $$ \begin{aligned} & P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B) \\ & P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C)-P(A C)+P(A B C) . \end{aligned} $$ ### 减法公式 $P(B-A)=P(B)-P(A B)$. ### 乘法公式 ① 若 $P(A)>0$, 则 $P(A B)=P(B \mid A) P(A)$; 若 $P(B)>0$, 则 $P(A B)=P(A \mid B) P(B)$. ② 若 $P(A B)>0$, 则 $P(A B C)=P(C \mid A B) P(B \mid A) P(A)=P(C \mid A B) P(A \mid B) P(B)$. 可以这样理解如果要使$n$件事件同时发生,不妨先发生$A_1$ ,接着再发生$A_2$ ,接着再发生$A_3$ ,等等的下去,后面的概率这时候都是条件概率了。 ### 全概率公式 在提出这个公式以前,我们需要提出一个概念: 若事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 满足下列两条: (1). $\forall i \neq j, A_i A_j=\varnothing$; (2). $A_1 \cup A_2 \cup \ldots A_n=\Omega$. 则称 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 为完备事件组. 这样的话,就可以得到我们的全概率公式了 $$ P(A)=\sum_{i=1}^n P\left(A \mid B_i\right) P\left(B_i\right) \text {, 其中 } B_i B_j=\varnothing(i \neq j), \bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega \text {. } $$ 在生活中,有很多事件支持完备事件组,比如产品质量可以分为合格和不合格、考试成绩为及格和不及格等等。 ### 贝叶斯公式 设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是完备事件组,且 $P\left(A_i\right)>0(i=1,2, \ldots, n)$, $B$ 为任意事件, $P(B)>0$, 则 $$ P\left(B_j \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_j\right) P\left(B_j\right)}{\sum_{i=1}^n P\left(A \mid B_i\right) P\left(B_i\right)} \text {, 其中 } B_i B_j=\varnothing(i \neq j), \bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega \text {. } $$ ## 事件独立性 设 $A, B$ 是随机试验中的两个事件, 若 $P(A B)=P(A) P(B)$, 则称事件 $A$ 和 $B$ 相互独立. 若 $A, B$ 独立且 $P(B) \neq 0$, 则 $P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}=P(A)$. $A$ 与 $B$ 独立 $\Leftrightarrow P(A B)=P(A) P(B)$. $A, B, C$ 两两独立 $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}P(A B)=P(A) P(B), \\ P(A C)=P(A) P(C), \\ P(B C)=P(B) P(C) .\end{array}\right.$ $A, B, C$ 相互独立 $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}P(A B)=P(A) P(B), \\ P(B C)=P(B) P(C), \\ P(A C)=P(A) P(C), \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C) .\end{array}\right.$ ## 独立的性质及结论 (1) 若事件 $A, B$ 相互独立, 则 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立. (2) 独立的等价说法: 若 $0 < P(A)< 1 $, 则 事件 $A, B$ 独立 $\Leftrightarrow P(A B)=P(A) P(B)$ $$ \begin{aligned} & \Leftrightarrow P(B)=P(B \mid A) \\ & \Leftrightarrow P(B)=P(B \mid \bar{A}) \\ & \Leftrightarrow P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A}) . \end{aligned} $$ (3) 若 $A_1, A_2, \cdots, A_m, B_1, B_2, \cdots, B_n$ 相互独立, 则 $f\left(A_1, A_2, \cdots, A_m\right)$ 与 $g\left(B_1, B_2, \cdots, B_n\right)$ 也相互独立, 其中 $f(\cdot), g(\cdot)$ 分别表示对相应事件作任意事件运算. (4) 若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$, 则 $A$ 与任何事件 $B$ 都相互独立. (5) 独立、互斥、互逆的关系 (1) $A$ 与 $B$ 互逆 $\Rightarrow A$ 与 $B$ 互斥,但反之不一定成立; (2) $A$ 与 $B$ 互斥 (或互逆) 且均为非零概率事件 $\Rightarrow A$ 与 $B$ 不独立; (3) $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件 $\Rightarrow A$ 与 $B$ 不互斥. 【注】一般情况下, 独立和互斥无关, 独立推不出互斥、互斥也推不出独立.
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