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复习6：大数定律

## 切比雪夫不等式    
设随机变量 $X$ 的期望 $E X$, 方差 $D X$ 都存在, 则对任意 $\varepsilon>0$ 均有    
$$
P\{|X-E X| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \frac{D X}{\varepsilon^2}
$$
或    
$$
P\{|X-E X|<\varepsilon\} \geqslant 1-\frac{D X}{\varepsilon^2} .
$$

## 大数定律    
(1) 依概率收敛    
对于随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 和常数 $a$, 如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 有    
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|X_n-a\right|<\varepsilon\right\}=1
$$    
则称随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 依概率收玫于 $a$, 记作 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} a$.
        
(2) 切比雪夫大数定律    
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立, 数学期望 $E X_i$ 和方差 $D X_i$ 均存在, 且方差 $D X_i$ 有公共上界, 即存在常数 $C$, 使 $D X_i \leq C(i=1,2, \cdots)$, 则对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总有    
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E X_i\right|<\varepsilon\right\}=1
$$
            
【注】上式表明: 当 $n$ 很大时, 相互独立方差有公共上界的随机变量的平均值 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依 概率收敛于其数学期望 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E X_i$.

(3) 伯努利大数定律   
设 $n_A$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数, $p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的 概率. 则对于任意正数 $\varepsilon>0$, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<\varepsilon\right\}=1 .
$$   
【注】上式表明: 当 $n$ 很大时, 随机事件 $A$ 发生的频率 $\frac{n_A}{n}$ 依概率收敛于事件 $A$ 的概率 $p$, 因此在试验次数充分大时, 可以用频率来近似代替概率.
      
        (4) 辛钦大数定律   
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots X_n, \cdots$ 相互独立, 服从相同的分布, 具有数学期望 $E X_i=\mu$ $(i=1,2, \cdots)$ 则, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\mu\right|<\varepsilon\right\}=1 .
$$
           
【注】上式表明：当 $n$ 很大时, 独立同分布的随机变量的平均值 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于
它的数学期望 $\mu$.
## 中心极限定理

(1) 列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量 $X_1, X_2, \cdots X_n, \cdots$ 相互独立, 服从相同的分布, 具有数学期望 $E X_i=\mu$ 和 方差 $D X_i=\sigma^2>0(i=1,2, \cdots)$, 则对于任意实数 $x$, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leq x\right\}=\Phi(x) .
$$
            
【注】上式表明：在定理条件下, 当 $n$ 充分大时, $\sum_{i=1}^n X_i$ 以正态分布为极限分布.        
(2) 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理    
设随机变量 $X_n$ 服从参数为 $n, p(0< p < 1, n=1,2, \cdots)$ 的二项分布, 即

$X_u \sim B(n, p)$, 则对于任意实数 $x$, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leq x\right\}=\Phi(x) .
$$      
【注】上式表明：当重复实验次数足够多时, 二项分布以正态分布为极限分布.

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