日期: 2024-03-27 14:41 查看: 19 次编辑导出本文

复习8:三大分布

(1) $\chi^2$ 分布    
1) 典型模式   
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 相互独立, 且均服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则随机变量 $\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记作 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$.
2) $\chi^2$ 分布的性质   
设 $X \sim \chi^2\left(n_1\right), Y \sim \chi^2\left(n_2\right)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则 $X+Y \sim \chi^2\left(n_1+n_2\right)$.
3) $\chi^2$ 分布的数字特征   
$$
E \chi^2=n, D \chi^2=2 n \text {. }
$$

4) 上 $\alpha$ 分位点 $\chi_a^2(n)$   
设 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{\chi^2>\chi_\alpha^2(n)\right\}=\alpha$ 的点 $\chi_a^2(n)$ 为 $\chi^2(n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.
      
        
        (2) $t$ 分布   
1) 典型模式   
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则随机变量 $t=\frac{X}{\sqrt{Y / n}}$ 服从 自由度为 $n$ 的 $t$ 分布, 记作 $t \sim t(n)$.
2) 性质   
$t$ 分布的概率密度 $f(x)$ 是偶函数, 且有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$, 即当 $n$ 充分大时, $t(n)$
分布近似于 $N(0,1)$ 分布.   
3) 上 $\alpha$ 分位点 $t_a(n)$<br />
        设 $t \sim t(n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{t>t_\alpha(n)\right\}=\alpha$ 的点 $t_\alpha(n)$ 为
$t(n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.

(3) $F$ 分布   
1) 典型模式   
设随机变量 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则随机变量 $F=\frac{X / m}{Y / n}$ 服
从自由度为 $(m, n)$ 的 $F$ 分布, 记作 $F \sim F(m, n)$.   
2) 性质   
若 $F \sim F(m, n)$, 则 $\frac{1}{F} \sim F(n, m)$.   
3) 上 $\alpha$ 分位点 $F_\alpha(m, n)$   
设 $F \sim F(m, n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{F>F_\alpha(m, n)\right\}=\alpha$ 的点
$F_\alpha(m, n)$ 为 $F(m, n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.

27. 一个正态总体的抽样分布     
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方差 为 $S^2$, 则有     
(1) $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right), \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$;     
(2) $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立, 且 $\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$;     
(3) $\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$;     
(4) $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n)$.

28. 两个正态总体的抽样分布    
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的样本, 且两个样本相互独立, 则有

(1) $\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$;
(2) 如果 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 则    
$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t\left(n_1+n_2-2\right)$, 其中 $S_w^2=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2} ;$    
(3) $\frac{\frac{1}{\sigma_1^2} \sum_{i=1}^{n_1}\left(X_i-\mu_1\right)^2 / n_1}{\frac{1}{\sigma_2^2} \sum_{j=1}^{n_2}\left(Y_j-\mu_2\right)^2 / n_2} \sim F\left(n_1, n_2\right)$;    
(4) $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)$.

上一篇：复习7:重要统计量

下一篇：复习9:矩估计

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0) 赞助我们

0 篇笔记写笔记

更多笔记