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复习4:曲线、曲面与旋转体
日期:
2024-03-30 18:38
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复习4:曲线、曲面与旋转体
## 直角坐标系 如图 1 所示的面积为 $S_1=\int_a^b|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x$. 如图 2 所示的面积为 $S_2=\int_a^\beta|\varphi(y)-\psi(y)| \mathrm{d} y$.  ## 极坐标系  $$ S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta\left[r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\right] \mathrm{d} \theta . $$ ## 旋转体体积 平面图形由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=a, x=b$ 和 $x$ 轴围成, 则 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_x=\pi \int_a^b y^2(x) \mathrm{d} x$. 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_y=2 \pi \int_a^b x|y(x)| \mathrm{d} x$. ## 平面曲线弧长 (1) $L: y=f(x), a \leq x \leq b, l=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$. (2) $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, \alpha \leq t \leq \beta, l=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t\right.$. (3) $\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, l=\int_\alpha^\rho \sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$. ## 旋转体的侧面积 若平面图形由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=a, x=b$ 和 $x$ 轴围成, 则图形绕 $x$ 轴旋转所 生成的旋转体的侧面积为 $$ S_{\text {体 }}=2 \pi \int_a^b|f(x)| \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x . $$ ## 质心行心公式  【注】密度均匀 (即密度为一常数 C) 的物体的质心即为形心
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