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复习10:无穷级数
日期:
2024-03-31 21:14
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复习10:无穷级数
## 数项级数 数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的性质 (1) 设 $\boldsymbol{c}$ 为非零常数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} c u_n$ 有相同的敛散性. (2) 设有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s, \sum_{n=1}^{\infty} v_n=\sigma$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=s \pm \sigma$. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 发散. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 敛散性不定. (3) 添加、去掉或改变有限项不影响级数的敛散性. (4) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, 则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和. 【注】 ①一个级数加括号所得新级数发散, 则原级数发散. ② 一个级数加括号后收敛,原级数的敛散性不定. (5) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的必要条件: $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$. ## 泰勒级数以及常见麦克劳林展开式 定义:设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某一邻域内具有任意阶导数, 级数 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+\cdots $$ 称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数. 当 $x_0=0$ 时, 级数化为 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\cdots $$ 称为麦克劳林级数. <br /> <br /> 常见函数展开式:<br /> $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad x \in(-1,1)$. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n, \quad x \in(-1,1)$. $\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$. $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$. $\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad x \in(-1,1]$. $(1+x)^a=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !} x^n+\cdots, x \in(-1,1)$. ## 周期与非周期函数傅里叶级数一览表 ![图片](/uploads/2024-03/e9f35b.jpg) ![图片](/uploads/2024-03/90a571.jpg)
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