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新高考-伽玛函数
日期:
2024-04-05 12:41
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新高考-伽玛函数
## 背景 #### 数列插值 在中学,我们学过抛物线方程 $y=x^2$是抛物线图像,这里的$x$可以是任意实数。但是,在某种情况下,当我们绘画该图像时,我们希望$x$只取整数,然后把这些点连接起来,就大致得到了$y=x^2$图像。 #### 阶乘 1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式$n²$自然的表达,即便 $n$ 为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。 直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线$y=x²$通过所有的整数点$(n,n²)$,从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。 一天哥德巴赫开始处理阶乘序列$1,2,6,24,120,720,...$,我们可以计算$2!,3!$,是否可以计算$2.5!$呢? 我们把最初的一些$(n,n!)$的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。 因此,有一个问题是分数的阶乘是多少,到底怎么算?此时伽玛函数就出现了。换句话说,伽玛函数最初出现是为了求解分数阶乘的问题。 ## 定义 伽玛函数在自然科学的应用里有非常重要的作用,所以单独提取出来对他的介绍。 伽玛函数 (Gamma Function) 作为阶乘函数的延拓,是定义在复数范围内的亚纯函数,通常写成 $\Gamma(x)$ ,负整数和 0 是它的一阶极点。 #### 伽玛函数定义 $$ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t(x>0) $$ 上面就是伽玛函数在实数域的顶用。 在复数域上伽玛函数定义为: $$ \Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{~d} t $$ 其中$Re(z)>0$,此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上,非正整数除外。 ![图片](/uploads/2023-11/2a04b1.jpg) ## $\psi$ 函数的定义 $$ \psi(z)=\Gamma^{\prime}(z) / \Gamma(z), $$ ## $\dfrac {1} {2}!$ 是多少? 在高中,我们学过了阶乘,其定义为 $ n!= 1 *2*3 \cdot \cdot \cdot n$, 这里$n$为0或者正整数,其中规定 $0!=1$, 例如 $5!=1*2*3*4*5=120$ , 那么你知道 $(\dfrac{1}{2})!$ 是多少吗? ![图片](/uploads/2023-11/52d49c.jpg) #### 递推公式 伽玛函数有一个重要递推公式,即: $\Gamma(n+1)=n \Gamma(n) .$ 证明如下: $$ \Gamma(n+1)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n+1-1} \mathrm{~d} x=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x $$ 我们用分部积分法来计算这个积分: $$ \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x=\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}+n \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n-1} \mathrm{~d} x $$ 当 $x=0$ 时, $\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0}=\frac{0}{1}=0$ 。当 $x$ 趋于无穷大时,根据洛必达法则,有: $$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-n ! \cdot 0}{\mathrm{e}^x}=0 . $$ 因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}$ 变成了零,所以: $$ \Gamma(n+1)=n \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x $$ 等式的右面正好是 $n \Gamma(n)$ , 因此,递推公式为: $$ \Gamma(n+1)=n \Gamma(n) . $$ 容易计算 $\Gamma(1)=1$ $\Gamma(2)=2!$ $\Gamma(3)=3!$ $\Gamma(4)=4!$ 事实上 $$ \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2 n) ! \sqrt{\pi}}{n ! 4^n} $$ 取 $n=0$, $$ \left(\frac{1}{2}\right) !=\frac{\sqrt{\pi}}{2} $$ ## 扩展 我们可以得到一个公式: $$ \begin{gathered} \Gamma(1)=1 \\ n !=\Gamma(n+1) . \\ n ! != \begin{cases}2^{\frac{1}{2} n} \Gamma\left(\frac{1}{2} n+1\right), & n \text { even }, \\ \pi^{-\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{2} n+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{2} n+1\right), & n \text { odd. }\end{cases} \end{gathered} $$ 当参数是实数时,$y=\Gamma(x)$其图像 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231109e795564.png) 当取自然对数时,$y=ln \Gamma(x)$其图像 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231109f3458c9.png) $\Psi $ 函数图形 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311099a0eb43.png) $|\Gamma(x+iy)|$图像 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311099069255.png)
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