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附录2-伽玛Γ函数与斯特林公式

## 伽(ga)马函数 
称函数
$$
\boxed{
\Gamma(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x
}
$$

为伽马函数, 其中参数 $s>0$. 伽马函数具有如下性质:

1. $\Gamma(1)=1, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$.
2. $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)$ (可用分部积分法证得). 当 $\alpha$ 为自然数 $n$ 时,有 $\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n !$.
关于伽玛函数的积分计算，可以点击[此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456)参加高等数学里的证明：

## 伽玛函数的由来
当您第一次看到伽玛函数时，你有没有想过为什么要创造这样一个看起来很复杂又无规律的积分函数？其实伽玛函数并不是凭空产生的。

伽玛函数的理由来自函数图像的绘图。1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从**整数集合**延拓到**实数集合**，时，遇到了问题。

在初中我们学过“描点”绘图，比如要绘出$y=x^2$的图像，其中$x$是实数，我们很容易想到，把实数$x$用自然数$n$代替，然后取$n=-2,-1,0,1,2$ 可以得到5个点，把这5个点用曲线连接起来，这就是$y=n^2$图像 如下
 ![图片](/uploads/2024-09/5a2798.jpg){width=300px}
 
 然后我们**就想当然的认为**$y=x^2$和$y=n^2$长相类似，后者就是前者的粗略版。
 
### $y= x!$ 图像 怎么画
 有了这个想法，我们现在要问一个问题：$y=x!$的图像是多少(x!表示$x$的阶乘)（点击查看[阶乘](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=200)定义 ）
 
 我们已经知道 $5!=5*4*3*2*1,  4!=4*3*2*1,... 1!=1$ 既然已经知道$n!$得值，那么把这些点连接起来，是不是就是$y=x!$的图形呢？
 
让我们把问题在具体一点，那 $y=\frac{1}{2} !$ 是多少？ 如果要验证图像是否正确，我们就要知道 $y=\frac{1}{2} !$ 得值，

![图片](/uploads/2023-11/52d49c.jpg)

为此，数学家重要得到了一个伽玛函数， 伽玛函数有一个递推公式（如上），现在我们已经知道 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ 而至于 $y=n !$ 的图形，也就可以画出来了。不过这已经超出了初等数学的范畴。
 
 
 
 
因此，有一个问题是分数的阶乘是多少,到底怎么算？此时伽玛函数就出现了。换句话说，伽玛函数最初出现是为了求解分数阶乘的问题。

## 作用
伽玛函数在自然科学的应用里有非常重要的作用，伽玛函数 (Gamma Function) 作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 $\Gamma(x)$ ，负整数和 0 是它的一阶极点。

### 伽玛函数定义
$$
\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t(x>0)
$$

上面就是伽玛函数在实数域的顶用。

在复数域上伽玛函数定义为:

$$
\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$

其中$Re(z)>0$，此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

![图片](/uploads/2023-11/2a04b1.jpg)
 
###  递推公式
伽玛函数有一个重要递推公式，即：
$\Gamma(n+1)=n \Gamma(n) .$

证明如下：

$$
\Gamma(n+1)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n+1-1} \mathrm{~d} x=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x
$$

我们用分部积分法来计算这个积分:

$$
\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x=\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}+n \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n-1} \mathrm{~d} x
$$

当 $x=0$ 时， $\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0}=\frac{0}{1}=0$ 。当 $x$ 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有:

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-n ! \cdot 0}{\mathrm{e}^x}=0 .
$$

因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}$ 变成了零，所以:

$$
\Gamma(n+1)=n \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x
$$

等式的右面正好是 $n \Gamma(n)$ ， 因此，递推公式为:

$$
\Gamma(n+1)=n \Gamma(n) .
$$

容易计算
$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(2)=2!$
$\Gamma(3)=3!$
$\Gamma(4)=4!$

事实上

$$
\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2 n) ! \sqrt{\pi}}{n ! 4^n}
$$

取 $n=0$,

$$
\left(\frac{1}{2}\right) !=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

## 伽玛函数与数学的关系
伽玛函数广泛运用在数学里，在
《高等数学》里会介绍 伽玛函数 
https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456

在 《概率论与数理统计》里，会介绍 伽玛分布 
https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2550

在 《复变函数》里会介绍 伽玛函数
https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2795

在《数学分析》《实变函数》里，都会讨论这个函数。

## 斯特林公式
伽玛函数还和斯特林公式有关。由勒让德倍元公式 $\Gamma(2 n)=\frac{2^{2 n-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)$

$$
\begin{aligned}
(2 n) ! & =\frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi}} n ! \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) \\
C \sqrt{2 n}\left(\frac{2 n}{\mathrm{e}}\right)^{2 n} & \sim \frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi}} C \sqrt{n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n C\left(n-\frac{1}{2}\right)^n \mathrm{e}^{\frac{1}{2}-n} \\
C & \sim \frac{\sqrt{2 \pi}}{\sqrt{\mathrm{e}}\left(1-\frac{1}{2 n}\right)^n}
\end{aligned}
$$

当 $n \rightarrow \infty$ 时 $C \rightarrow \sqrt{2 \pi}$
所以
$$
\boxed {
n ! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n
}
$$

这就是著名的斯特林公式。

斯特林公式简单的说，就是找到了计算阶乘的简单的估算方法。

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