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复习5:二项式定理
日期:
2024-04-08 08:12
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复习5:二项式定理
> 排列组合里,组合记法有苏式记法和美式记法。苏式记法 $C_n^m$ 美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$,国内普遍使用苏式记法,而国际竞赛普通使用美式记法, $\mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ ## 引入 仔细观察下面多项式乘法的系数规律。 ![图片](/uploads/2024-04/a4ad00.jpg){width=500px} 可以发现其展开方式是以此从每个 $(a+b)$中,选一个数$a$或$b$,相乘后得到一项。 ![图片](/uploads/2024-04/3cb79d.jpg){width=500px} ## 二项式定理 $$ \begin{aligned} & (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r} b^r=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+\cdots+C_n^r a^{n-r} b^r+\cdots+C_n^n b^n \end{aligned} $$ 这就是二项式定理,等式右边即为 $(a+b)^n$ 的二项展开式,它共有 $n+1$ 项 $C_n^r a^{n-r} b^r$ 叫做二项展开式的第 $r+1$ 项,也即通项,用 $T_{r+1}$ 表示 $$ T_{r+1}=C_n^r a^{n-r} b^r $$ $C_n^r \quad(r=0,1,2, \cdots, n)$ 叫做第 $r+1$ 项的二项式系数 ### 证明: 组合证法 将乘积 $$ (a+b)^n=(a+b)(a+b) \cdots(a+b) $$ 按乘法对加法的分配律展开,直至没有括号 因为每一项都可选 $a$ 或 $b$ ,因此(未合并同类项时)共有 $2^n$ 项 显然所有项都是 $a^{n-r} b^r \quad(r=0,1,2, \cdots, n)$ 的形式 为了计数形如 $a^{n-r} b^r$ 的项的系数,必须从 $n$ 个 $a+b$ 中选取 $n-r$ 个 $a$ (从而乘积中其余的 $r$ 个项都是 $b$ ) 所以 $a^{n-r} b^r$ 的系数是 $C_n^{n-r}=C_n^r$ 这就证明了二项式定理 #### 记忆 可以使用杨辉三角进行记忆 ![图片](/uploads/2023-01/378148.jpg){width=500px} ## 二项式系数的性质 #### (1)对称性 $$ C_n^k=C_n^{n-k} $$ #### (2)单峰性 $n$ 为偶数时 $$ \begin{aligned} & C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{n / 2-1}<C_n^{n / 2} \\ & C_n^{n / 2}>C_n^{n / 2+1}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n \end{aligned} $$ $n$ 为奇数时 $$ \begin{aligned} & C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2} \\ & C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n \end{aligned} $$ #### 帕斯卡恒等式 设 $n, k \in \mathbb{N}^* , n \geq k$ $$ C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1} $$ ## 二项式展开式 $ (a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+\ldots+C_n^n b^n $ (1)展开式共 $n+1$ 项, 各项次数为 $n$. (2)各项规律: $a$ 降幂 $(n \rightarrow 0)$; $b$ 升幂 $(0 \rightarrow n)$ (3)展开式的通项or第 $k+1$ 项: $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k(k=0,1,2, \ldots, n)$ (4)各项的二项式系数 : $C_n^k(k=0,1,2, \ldots, n)$ 如: $(1+2 x)^6$ 的第 4 项的二项式系数是 $C_6^3=20$. (5)与首末等距的两个二项 式系数相等, 即 $C_n^k=C_n^{n-k}(k=0,1,2, \ldots, n)$ #### 基础题1 求 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式 解:先写通项,再将 $0,1,2, \ldots n$ 代入 $k$ $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6=\left(x+x^{-1}\right)^6$, 通项为 $C_6^k x^{6-k} x^{-k}=C_6^k x^{6-2 k}(k=0,1, \ldots, 5,6)$ $$ \begin{aligned} \therefore\left(x+\frac{1}{x}\right)^6 & =C_6^0 x^6+C_6^1 x^4+C_6^2 x^2+C_6^3+C_6^4 x^{-2}+C_6^5 x^{-4}+C_6^6 x^{-6} \\ & =x^6+6 x^4+15 x^2+20+15 x^{-2}+6 x^{-4}+x^{-6} \end{aligned} $$ #### 基础题2 求 $\left(3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$ 的展开式. 解:原式 $=\left(\frac{3 x+1}{\sqrt{x}}\right)^4=\frac{1}{x^2}(1+3 x)^4$, 括号内先化简,再展开 $(1+3 x)^4$ 的通项为 $C_4^k(3 x)^k=C_4^k 3^k x^k(k=0,1,2,3,4)$ $\therefore$ 展开式为 $x^{-2}\left(1+12 x+54 x^2+108 x^3+81 x^4\right)$ $$ =x^{-2}+12 x^{-1}+54+108 x+81 x^2 $$ ### 逆用二项式定理 #### 基础题1 求 $1+2 C_n^1+4 C_n^2+\ldots+2^n C_n^n=\underline{} \quad , a=1, b=3$ 解: 原式 $=C_n^0 \cdot 2^0+C_n^1 \cdot 2+C_n^2 \cdot 2^2+\ldots+C_n^n \cdot 2^n=(1+2)^n=3^n$ #### 基础题2 求 $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\ldots+C_{10}^{10}=\underline{}$. 解:令 $a=b=1$, 得 $(a+b)^n$ 的二项式系数之和为 $2^n$, 即 $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=2^n$. 只与 $n$ 有关, 与 $a, b$ 无关. > 令 $ a=1, b=-1 $ 可得奇数项和偶数项的二项式系数和相等,即 $ C_n^0+C_n^2+C_n^4+\ldots=C_n^1+C_n^3+C_n^5 \ldots=2^{n-1}$ #### 提高 $\frac{C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n}{C_{n+1}^0+C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\ldots+C_{n+1}^{n+1}}={ }^{\frac{1}{2}}$ #### 提高2 $(x+1)^n$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 15 , 则 $n=$ 解析 : $(1+x)^n$含$x^2$ 的项为 $C_n^2 x^2=15 x^2, \therefore C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=15, \therefore n=6$. #### 提高3 $(x+y)(x-y)^5$ 的展开式中 $x^3 y^3$ 的系数是 解析: 若 $(x+y)$ 选 $x$, 则找 $(x-y)^5$ 展开式中 $x^2 y^3$ 的系数,即 $x \cdot C_5^3 x^2(-y)^3=-10 x^3 y^3$. 若 $(x+y)$ 选 $y$, 则找 $(x-y)^5$ 展开式中 $x^3 y^2$ 的系数, 即 $y \cdot C_5^2 x^3(-y)^2=10 x^3 y^3$. 所以,系数是0 #### 提高4 求 $\left(x^2+x+y\right)^5$ 的展开式中 $x^5 y^2$ 的系数 解析:$\left(x^2+x+y\right)^5=\left[\left(x^2+x\right)+y\right]^5$, 其展开式中含 $y^2$ 的项为 $C_5^2\left(x^2+x\right)^3 y^2$ 只需再求 $\left(x^2+x\right)^3$ 的展开式中 $x^5$ 的系数, 其通项为 $C_3^k\left(x^2\right)^{3-k} x^k=C_3^k x^{6-k}$ 令 $k=1$ 得 $\left(x^2+x\right)^3$ 的展开式中 $x^5$ 的系数为 $C_3^1=3$, $\therefore$ 原式的展开式 $x^5 y^2$ 的系数为 $C_5^2 \cdot 3=30$ ## 三项式问题 典型例题: 在 $\left(x^2+3 x+2\right)^5$ 的展开式中, $x$ 的一次项的系数为? #### 解法1:分组法 因为 $\left(x^2+3 x+2\right)^5=\left[\left(x^2+2\right)+3 x\right]^5$, 所以二项式 $\left[\left(x^2+2\right)+3 x\right]^5$ 的展开式的通项公式为: $$ T_{r+1}=C_s^\gamma \cdot\left(x^2+2\right)^{5-\gamma} \cdot(3 x)^r $$ 当且仅当 $r=1$ 时, $T_{r+1}=C_5^r \cdot\left(x^2+2\right)^{5-\gamma} \cdot(3 x)^\gamma$ 的展开式中才有 $x$ 的一次项, 此时, $T_{\gamma+1}=T_2=C_5^1 \cdot\left(x^2+2\right)^4 \cdot(3 x)$, 所以, $x$ 的一次项为 $C_5^1 \times C_4^4 \times 2^4 \times(3 x)$, 它的系数为: $C_5^1 \times C_4^4 \times 2^4 \times 3=240$ 。 #### 解法2:定义法 在 $\left(x^2+3 x+2\right)^5$ 的 5 个因式中, 1 个取因式中的 $3 x$ ,剩余的 4 个都取因式中的 2 , 所以 $x$ 的一次项为 $C_5^1 \times 3 x \cdot 2^4=240 x$, 故展开式中, $x$ 的一次项的系数为 240 . #### 解法3:分解因式法 因为 $$ \begin{aligned} & \left(x^2+3 x+2\right)^5=(x+1)^5 \cdot(x+2)^5 \\ & =\left(C_5^0 x^5+C_5^1 x^4+\cdots+C_5^5\right)\left(C_5^0 x^5+C_5^1 x^4 \times 2+\cdots+C_5^5 \times 2^5\right) \end{aligned} $$ 所以展开式中 $x$ 的一次项为: $C_5^4 x \cdot C_5^5 \times 2^5+C_5^4 x \cdot 2^4$故展开式中, $x$ 的一次项的系数为 240 . ## 二项式系数最大项 设第 $r+1$ 项为 $(a+b)^n$ 展开式中二项式系数最大的项 (1)当 $n$ 是偶数时, $r=\frac{n}{2}$, 即中间的一项 $T_{\frac{n}{2}+1}=C_n^{\frac{n}{2}} a^{\frac{n}{2}} b^{\frac{n}{2}}$ 为二项式系数最大的项; (2)当 $n$ 是奇数时, $r=\frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}$, 即中间的两项 $T_{\frac{n-1}{2}+1}=C_n^{\frac{n-1}{2}} a^{\frac{n+1}{2}} b^{\frac{n-1}{2}}$, $T_{\frac{n+1}{2}+1}=C_n^{\frac{n+1}{2}} a^{\frac{n-1}{2}} b^{\frac{n+1}{2}}$ 为二项式系数最大的项. #### 典型例题1 求 $\left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)^{20}$ 展开式中系数最大的项. 解 设第 $k+1$ 项系数最大, 则 $$ \begin{aligned} & T_{k+1}=\mathrm{C}_{20}^k(\sqrt{x})^{20-k}\left(\frac{2}{x}\right)^k=2^k \mathrm{C}_{20}^k x^{\frac{20-3 k}{2}} . \\ & \text { 由 }\left\{\begin{array}{l} 2^k C_{20}^k \geq 2^{k+1} C_{20}^{k+1}, \\ 2^k C_{20}^k \geq 2^{k-1} C_{20}^{k-1}, \end{array}\right. \\ & \text { 即 }\left\{\begin{array}{l} \frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k+1} \cdot 20 !}{(k+1) !(19-k) !}, \\ \frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k-1} \cdot 20 !}{(k-1) !(21-k) !}, \end{array}\right. \\ & \text { 亦即 }\left\{\begin{array}{c} \frac{1}{20-k} \geq \frac{2}{k+1}, \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{21-k}, \end{array}\right. \\ & \end{aligned} $$ 解得 $13 \leq k \leq 14$. 因为 $k \in \mathbf{N}^*$, 所以 $k=13$ 或 $k=14$. 所以系数最大的项为 $$ T_{14}=2^{13} \mathrm{C}_{20}^{13} x^{-\frac{19}{2}}, T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11} $$ #### 典型例题2 求 $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^{20}$ 展开式中系数最大的项. 解 设第 $k+1$ 项系数的绝对值最大, 则 $$ \begin{aligned} & T_{k+1}=\mathrm{C}_{20}^k(\sqrt{x})^{20-k}\left(-\frac{2}{x}\right)^k=(-2)^k \mathrm{C}_{20}^k x^{\frac{20-3 k}{2}} . \\ & \text { 由 }\left\{\begin{array}{l} 2^k C_{20}^k \geq 2^{k+1} C_{20}^{k+1}, \\ 2^k C_{20}^k \geq 2^{k-1} C_{20}^{k-1}, \end{array}\right. \\ & \text { 即 }\left\{\begin{array}{l} \frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k+1} \cdot 20 !}{(k+1) !(19-k) !}, \\ \frac{2^k \cdot 20 !}{k !(20-k) !} \geq \frac{2^{k-1} \cdot 20 !}{(k-1) !(21-k) !}, \end{array}\right. \\ & \text { 亦即 }\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{20-k} \geq \frac{2}{k+1}, \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{21-k}, \end{array} \text { 解得 } 13 \leq k \leq 14 .\right. \\ & \end{aligned} $$ 因为 $k \in \mathbf{N}^*$, 所以 $k=13$ 或 $k=14$. 所以系数绝对值最大的项为 $$ T_{14}=-2^{13} \mathrm{C}_{20}^{13} x^{-\frac{19}{2}}, T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11} \text {. } $$ 故系数最大的项为 $T_{15}=2^{14} \mathrm{C}_{20}^{14} x^{-11}$.
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