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方程与不等式
三元一次方程组
日期:
2024-04-21 20:03
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三元一次方程组
## 三元一次方程组及其解法 含有三个未知数的一次方程组, 叫做三元一次方程组. 例如: 方程组 $$ \left\{\begin{array} { l } { 2 x + 3 y + z = 3 8 } \\ { 3 x + 4 y + 2 z = 5 6 } \\ { 4 x + 5 y + z = 6 6 } \end{array} \quad \left\{\begin{array} { r } { x + y + z = 2 } \\ { x - y + z = 0 } \\ { x - z = 4 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{r} 2 m-R+2 n=8 \\ R+2 n=-2 \\ 3 m+R-4 n=1 \end{array}\right.\right.\right. $$ 等等, 都是三元一次方程组. 解三元一次方程组的关键, 仍然是消元, 其具体方法仍是代人法和加减法.通过逐步消元, 将三元转化为二元, 再转化为一元. 每一次转化, 都是运用 “通性” 和等式性质. 以保证解出一元方程的解, 再逐步求得三元一次方程组的解. #### 例题 解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+z=38 ... (2.29) \\ 3 x+4 y+2 z=56 ...(2.30)\\ 4 x+5 y+z=66 ... (2.31) \end{array}\right. $$ 解: $(2.31)-(2.29): 2 x+2 y=28$, 即: $$ x+y=14 ... (2.32) $$ $(2.29) \times 2-(2.30)$ : $$ x+2 y=20 ... (2.33) $$ 将 (2.32)、(2.33) 联立, 由 $(2.33)-(2.32): y=6$ 将 $y=6$ 代人 (2.32): 解出 $x=8$. 把 $x=8, y=6$ 代人 $(2.29)$ : 解出 $z=4$. 所以, 原方程的解是: $(x, y, z)=(8,6,4)$
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