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尺规作图
日期:
2024-04-24 11:34
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尺规作图
## 一、作一条线段与已知线段相等 已知:线段$a$ (图1.65).求作:一段线等于$a$. ![图片](/uploads/2024-04/6dbf44.jpg) 作法: 任作一条射线$OA$, 以$O$为圆心,$a$为半径画弧,交$OA$于$B$, 则$OB$为所求. ## 作一个角与已知角相等 已知:$\angle O$.求作:一角等于$\angle O$. ![图片](/uploads/2024-04/e8bd0e.jpg) 作法:(图1.66) 作一射线$O'X$; 以$O$为圆心任意长为半径作一圆弧,交$\angle O$的两边于$A$、$B$两点; 不改变半径,以$O'$为圆心作一圆弧,交$O'X$于$B$点; 以$B'$为圆心,$\overline{BA}$为半径作一圆弧,与前一圆弧交 于$A'$点; 作射线$O'A'$,则$\angle A'O'B'$就等于$\angle O$. 理由:由作法可知: $\because\quad \overline{OA}=\overline{O'A'},\quad \overline{OB}=\overline{O'B'},\quad \overline{AB}=\overline{A'B'}$ $\therefore\quad \triangle AOB\cong \triangle A'O'B'$(SSS) $\therefore\quad \angle A'O'B'=\angle O$. ## 已知三边作三角形 已知:三条线段$a$、$b$、$c$.求作:一三角形使其三边长分别等于$a$、$b$、$c$. ![图片](/uploads/2024-04/33c7cc.jpg) 作法:(图1.67) 作$\overline{BC}=a$ 分别以$B$、$C$为圆心,$c$、$b$为半径在$\overline{BC}$的同 旁作两条弧,它们相交于$A$点. 连结$\overline{AB}$、$\overline{AC}$, 则$\triangle ABC$为满足已知条件的三角形. 如果已知条件中,$b+c\le a$或$a+b\le c$或$a+c\le b$, 则作不成三角形.图1.68是$b+c\le a$的情况. ![图片](/uploads/2024-04/ca8c32.jpg) ## 已知两角及夹边作三角形 已知:$\angle \alpha$、$\angle \beta$及线段$a$. 求作:$\triangle ABC$, 使$\angle B=\angle \alpha$, $\angle C=\angle \beta$, $\overline{BC}=a$. ![图片](/uploads/2024-04/a5d749.jpg) 作法:(图1.69) 作$\overline{BC}=a$, 作$\angle XBC=\angle \alpha$, 作$\angle YCB=\angle \beta$, 射线$BX$与射线$CY$相交于$A$点. 则$\triangle ABC$即为所求作的三角形. 理由:请同学们自己说明. ## 作已知角的平分线 已知:$\angle AOB$ 求作:$\angle AOB$的平分线.(在$\angle AOB$内部,以$O$为端 点作一条射线,使它把$\angle AOB$分成相等的两个角,这条射 线就是$\angle AOB$的平分线.) ![图片](/uploads/2024-04/1a2f64.jpg) 作法:(图1.71) 以点$O$为圆心,任意 长为半径作弧,交$\angle AOB$的两边 于$A'$、$B'$两点. 再分别以$A'$、$B'$为圆心,以$OA'$为半径作两条弧交于$C$点. 作射线$OC$, 则射线$OC$即为所求的$\angle AOB$的平分线. 理由:根据作法,在$\triangle A'OC$和$\triangle B'OC$中, $\because\quad \overline{OC}=\overline{OC},\quad \overline{OB'}=\overline{OA'},\quad \overline{A'C}=\overline{B'C}$ $\therefore\quad \triangle A'OC\cong \triangle B'OC$, (SSS) $\therefore\quad \angle A'OC=\angle B'OC$. (全等三角形对应角相等) 我们把平分角的射线叫做\textbf{角的平分线}.如果给定 的是一个平角,那么这个角的平分线和这个平角的两条边有什么关系? ## 过已知直线上一点,作一直线和已知直线垂直 已知:直线$\ell$和$\ell$上一点$P$ (图1.72) 求作:过$P$点并且垂直于直线$\ell$的直线. ![图片](/uploads/2024-04/2174b2.jpg) 作法: \item 以点$P$为圆心,任意 长为半径作弧交$\ell$于$A$、$B$两点. 分别以$A$、$B$为圆心,以大于$\overline{AB}$的一半为半径作两条弧交于$Q$点, 过$Q$、$P$作直线$QP$, 则直线$QP\bot\ell$于$P$点. 理由:请同学们自己说明. ## 过已知直线外一点作已知直线的垂线 已知:直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.73), 求作:过$P$点并且垂直于$\ell$的直线. ![图片](/uploads/2024-04/006bf2.jpg) 作法: 以$P$为圆心,在$\ell$上任 意取$C$点,以大于$\overline{PC}$长的线段为 半径画弧交于$\ell$于$A$、$B$两点; 分别以$A$、$B$为圆心,以 $\overline{AB}$为半径画两条弧相交于$Q$点; 过$P$、$Q$作直线$PQ$, 则直线$PQ$即为所求作的垂线. 理由:(略) ## 求已知线段的中点 已知:$\overline{AB}$(图1.74). 求作:$\overline{AB}$的中点. ![图片](/uploads/2024-04/ed2acb.jpg) 作法: 分别以$A$、$B$为圆心,以$\overline{AB}$为半径画两条弧 交于$P$、$Q$两点. 过$P$、$Q$两点作直线交$\overline{AB}$于$M$点,则$M$点就是$\overline{AB}$ 的中点. 这种作法和作$\overline{AB}$的垂线的作法一致,因而直线 $\overline{PQ}$不仅平分$\overline{AB}$, 还垂直$\overline{AB}$,因此我们把$\overline{PQ}$叫做$\overline{AB}$的垂 直平分线.线段的垂直平分线的一般意义可表述为:垂直且 平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. ## 过已知直线外一点作已知直线的平行线 已知;直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.75). 求作:过$P$点作一直线和$\ell$平行. 作法: 在直线$\ell$上任取一点$P'$. 过$P$、$P'$作直线$PP'$. 作$\angle QPM=\angle\alpha$. 则直线$PM$和$\ell$平行. 理由:由作法$\angle QPM=\angle\alpha$, 所以直线$PM\parallel \ell$(同位角相等则两条直线平行).
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