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线性代数
第四篇 线性方程组的解
线性方程组求解总结
最后更新:
2024-06-25 13:12
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线性方程组求解总结
## 一、线性方程组与向量组其实是一回事 我们来看一般的非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m, \end{array}\right. $$ 该方程组的系数矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right] $$ 就是若干个列向量拼成的,且其增广矩阵 $$ \left[\begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{array}\right] $$ 就是系数矩阵再添加一个列向量拼成的. 仔细观察, 把上述方程组写成向量的形式便不难看出, 该方程组的未知数就是向量组中各成员的系数: $$ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}, $$ 其中 $$ \boldsymbol{\alpha}_j=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right], j=1,2, \cdots, n, \quad \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right] . $$ 所以从本质上说, 方程组问题就是向量组问题, 方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式, 其本质一样,所以解决方法也一样. 求解线性方程组, 就是对增广矩阵作初等行变换, 化成行阶梯形矩阵, 然后求解. 这个基本方法贯穿这门课程始终. 接下来,该方程组有无穷多解时,如何表示出所有的解? 这又是某个(无穷)向量组用什么“代表”来表示的问题. 这个“代表”就是基础解系. 于是, 解线性方程组便成了这一部分的关键. 只是希望读者发现: 解方程组所得到的解 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 不就是描述向量与向量之间关系的表示系数吗? ## 二、齐次线性方程组 方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 m} x_n=0, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 \end{array}\right. $$ 称为 $m$ 个方程, $n$ 个未知量的齐次线性方程组. 其向量形式为 $$ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0} \text {, } $$ 其中 $$ \boldsymbol{\alpha}_j=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right], j=1,2, \cdots, n $$ 其矩阵形式为 $$ \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, $$ 其中 $$ \boldsymbol{A}_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] . $$ 1.有解的条件 当 $r(\boldsymbol{A})=n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性无关), 方程组 ( I ) 有唯一零解; 当 $r(\boldsymbol{A})=r<n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性相关), 方程组 ( I ) 有非零解, 且有 $n-r$ 个线性无关解. 2. 解的性质 若 $\boldsymbol{A} \xi_1=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \xi_2=\mathbf{0}$, 则 $\boldsymbol{A}\left(k_1 \xi_1+k_2 \xi_2\right)=\mathbf{0}$, 其中 $k_1, k_2$ 是任意常数. 3. 基础解系和解的结构 (1)基础解系:设 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ - 满足 ①是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解; ②线性无关; ③方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的任一解均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$-线性表出,则称 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系. (2) 通解:设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-}, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解,其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 是任意常数. 4. 求解方法与步骤 ①将系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作初等行变换化成阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ (或最简阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ ), 初等行变换将方程组化为同解方程组,故 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解, 只需解 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 即可. 设 $r(\boldsymbol{A})=r$, $$ \boldsymbol{A} \xrightarrow{\text { 初等行变换 }} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_r & \cdots & c_{r n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right]_{m \times n}, $$ 其中, $m$ 是原方程组中方程个数, $n$ 是未知量个数. ②按列找出一个秩为 $r$ 的子矩阵,剩余列位置的未知数设为自由变量. ③按基础解系定义求出 $\xi_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$, 并写出通解. ## 三、非齐次线性方程组 方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 m} x_n=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right. ...(II) $$ 称为 $m$ 个方程, $n$ 个未知量的非齐次线性方程组. 其向量形式为 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{b}$, 其中 $$ \boldsymbol{\alpha}_j=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right], j=1,2, \cdots, n, \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right] $$ 其矩阵形式为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$, 其中 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] $$ 矩阵 $\left[\begin{array}{cccc:c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m\end{array}\right]$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的增广矩阵,简记成 $[\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{b}]$. 1.有解的条件 若 $r(\boldsymbol{A}) \neq r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])\left(\boldsymbol{b}\right.$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表出), 则方程组 (II) 无解; 若 $r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])=n\left(\right.$ 即 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n, \boldsymbol{b}$ 线性相关), 则方程组 (II) 有唯一解; 若 $r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])=r<n$, 则方程组 (II) 有无穷多解. 2.解的性质 设 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}$ 是对应齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则: (1) $\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解; (2) $k \xi+\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解. 3.求解方法与步骤 将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形 (或最简阶梯形) 矩阵, 求出对应齐次线性方程组的通解, 再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解. (1)写出 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的导出方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 并求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解 $k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-}, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$. (2)求出 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个特解 $\boldsymbol{\eta}$. (3)则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 $k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-}, \boldsymbol{\xi}_{n-r}+\boldsymbol{\eta}$, 其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 为任意常数.
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