余切、正割、余割

日期: 2023-11-05 20:52 查看: 34 次更新导出Word

如果 $P(x, y)$ 是 $\alpha$ 终边上不同于坐标原点的任意一点, 记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$,则 $r>0$, 此时

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(1) 称 $\frac{r}{x}$ 为 $\alpha$ 的正割, 记作 $\sec \alpha$, 即

$$
\sec \alpha=\frac{r}{x} ;
$$

(2) 称 $\frac{r}{y}$ 为 $\alpha$ 的余割, 记作 $\csc \alpha$, 即

$$
\csc \alpha=\frac{r}{y} ;
$$

(3) 称 $\frac{x}{y}$ 为 $\alpha$ 的余切, 记作 $\cot \alpha$, 即

$$
\cot \alpha=\frac{x}{y} \text {. }
$$

由上述定义可知, 当 $\alpha$ 的终边在 $y$ 轴上时， $\sec \alpha$ 没有意义; 当 $\alpha$ 的终边在 $x$ 轴上时, $\cot \alpha, \csc \alpha$ 没有意义.

同样地, 我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨.

正割、余割、余切也称为角 $\alpha$ 的三角函数, 从上述定义可以看出, 在各三角函数都有意义的前提下, 它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数, 即

$$
\begin{aligned}
& \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}, \\
& \csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}, \\
& \cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha} .
\end{aligned}
$$

另外, 由于

$$
\begin{aligned}
\tan ^2 \alpha+1 & =\frac{\sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}+1 \\
& =\frac{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha} \\
& =\frac{1}{\cos ^2 \alpha}=\sec ^2 \alpha,
\end{aligned}
$$

因此

$$
\tan ^2 \alpha+1=\sec ^2 \alpha .
$$

类似地, 还能得到

$$
\cot ^2 \alpha+1=\csc ^2 \alpha .
$$

习惯上, 人们经常借助如下页图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式: 图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为 1 , 即
![图片](/uploads/2023-11/image_2023110589b2010.png)

$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha \sec \alpha=1, \\
& \sin \alpha \csc \alpha=1, \\
& \tan\alpha \cot\alpha=1,
\end{aligned}
$$

每一个倒立的绿色正三角形中, 上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方, 即 $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ 等.

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