日期: 2024-04-21 18:53 查看: 179 次编辑导出

因式分解

## 因式与倍式
在算术中已经知道，如果整数$a$能够被整数$b$整除，就是说，能够找到一个整数$q$，使$a=q\cdot b$成立，那么，$a$就叫做$b$的倍数，而$b$叫做$a$的因数．当然，这时$a$也是$q$的倍数，$q$也是$a$的因数．

例如：由$12=4\times 3$，因而12是3与4的倍数，而3与4就是12的因数．

显然，12的因数还有很多个，如：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$等都是12的因数．

如果一个整数$k, (k\ne 1)$除了$\pm1,\pm k$以外再没有其它的因数，那么，$k$就叫做**质数**（也叫**素数**）．

例如：$2, 3, 7, 5$等，都是质数．

在代数中，对于多项式来说，也有类似的概念．如果多项式$f(x)$能够被非零多项式$g(x)$整除，也就是，可以找到一个多项式$Q(x)$，使$f(x)=Q(x)\cdot g(x)$成立，那么，$f(x)$就叫做$g(x)$的倍式，而$g(x)$叫做$f(x)$的因式．当然，这种情况下，$f(x)$也是$Q(x)$的倍式，$Q(x)$也是$f(x)$的因式．显然，这里的$Q(x)$, $g(x)$的次数都不会大于$f(x)$的次数．

例如：$\because\quad x-1=(x+1)(x-1)$,

$\therefore\quad $ $x^2-1$就是$(x+1)$，$(x-1)$的倍式；而$(x+1)$，
$(x-1)$又都是$(x^2-1)$的因式．

又由于任一个多项式$f(x)$，都可以写成“一个零次多项式$a$与另一多项式$\frac{1}{a}f(x)$的乘积”，即
$f(x)=a\cdot \frac{1}{a}f(x)$

因此，任何一个零次多项式$a$以及与$f(x)$相差
一个常数倍的多项式$\frac{1}{a}f(x)$，都可以看成多项式$f(x)$
的因式．

如果一个多项式$f(x)$，除有零次因式和它本身$f(x)$外，还有次数较低（但大于1次）的其它因式$Q(x)$, $g(x)$, 那么，$f(x)$就叫做**可约多项式**．

例如：多项式$f(x)=ax+b\; (a\ne 0)$就是不可约多项式；
多项式$g(x)=x^2+1$, 在实数范围内是不可约多项式；多项式$R(x)=x^2-2$ 在有理数范围内，是不可约多项式；但在实数范围内，由于$x^2-2=(x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2})$，因此，它又是一个可约多项式．

多项式$\varphi(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$是一个可约多项式．

## 因式分解
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

####  例题1
分解因式 $12x^4y^2-8x^3y+6x^2y^3$
解：原式=$12x^4y^2-8x^3y+6x^2y^3=2x^2y(6x^2y-4x+3y^2)$

**一、提公因式法**
这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题:
因式分解下列多项式:
(1) $x^3 y-x y^3=x y\left(x^2-y^2\right)=x y(x+y)(x-y)$ ；
(2) $3 x^3-18 x^2+27 x=3 x\left(x^2-6 x+9\right)=3 x(x-3)^2$;
(3) $3 a^3+6 a^2 b-3 a^2 c-6 a b c=3 a\left(a^2+2 a b-a c-2 b c\right)$
$=3 a[a(a-c)+2 b(a-c)]=3 a(a+2 b)(a-c)$.

**二、公式法**

常用的公式如下:

$$
\begin{aligned}
& (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b \\
& (a \pm b)^2=a^2 \pm 2 a b+b^2 \\
& (a \pm b)^3=a^3 \pm 3 a^2 b+3 a b^2 \pm b^3 \\
& a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
& a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) \\
& a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\
& (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a \\
& a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)
\end{aligned}
$$

还有两个常考的 $n$ 次方展开的公式:

$$
\begin{aligned}
& a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)\left(n \in Z^{+}\right) \\
& a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-\cdots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right)(\mathrm{n} \text { is odd })
\end{aligned}
$$

因式分解: $\left(a^2+b^2-1\right)^2-4 a^2 b^2$

$$
\begin{aligned}
& =\left(a^2+b^2-1+2 a b\right)\left(a^2+b^2-1-2 a b\right) \\
& =\left[(a+b)^2-1\right]\left[(a-b)^2-1\right] \\
& =(a+b+1)(a+b-1)(a-b+1)(a-b-1)
\end{aligned}
$$

**三、十字相乘法**

简单的十字相乘其实就是公式 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b$ 的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。熟练的时候也不会想什么口诀，就这样做下来了。
比十字相乘法再进一步的还有双十字相乘法，这种方法适用的是型如:
例题:
因式分解: $2 x^2-7 x y-22 y^2-5 x+35 y-3$
首先考虑 $2 x^2-7 x y-22 y^2=(x+2 y)(2 x-11 y)$
然后考虑 -3 分解，使得 $x, 2 x$ 与 $2 y,-11 y$ 分别交叉相乘得到 $-5 x, 35 y$ 。这个还是比较容易的，很快就能发视 $-3=-3 \times 1$ 就可以了。
最后可知:

$$
2 x^2-7 x y-22 y^2-5 x+35 y-3=(x+2 y-3)(2 x-11 y+1)
$$

**四、待定系数法**

因式分解: $x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3$
由于 $\left(x^2+3 x y+2 y^2\right)=(x+2 y)(x+y)$
不妨设两个一次项分别为 $(x+2 y+m),(x+y+n)$
于是:

$$
\begin{aligned}
& x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3=x^2+3 x y+2 y^2+(m+n) x+(m+2 n) y \\
& +m n
\end{aligned}
$$

比较对应系数可知， $m=3, n=1$
所以，

$$
x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3=(x+2 y+3)(x+y+1)
$$

分解因式: $x^4+(x-4)^4+4^4$
我们研究一个更一般的形式： $x^4+(x-y)^4+y^4$ ；显然原式是我们一般式 $y=4$ 时的一个特解。观察此式，很容易发现这是一个关于 $x, y$ 的轮换对称式，并且 $x y$ 和 $x-y$ 都不是原式的因式，也就是说如果原石能进行因式分解的话，只能分解成两个二次式的乘积，于是我们可以用待定系数法来做。
可设 $x^4+(x-y)^4+y^4=A\left(x^2+B x y+y^2\right)\left(x^2+C x y+y^2\right)$
因为有三个未知数，然后取三个特殊值来求解:
我们分别取 $(x, y)=(1,1),(2,1),(3,1)$ 得到方程组:

$$
\begin{aligned}
& A(2+B)(2+C)=2 \\
& A(5+2 B)(5+2 C)=18 \\
& A(10+3 B)(10+3 C)=98
\end{aligned}
$$

解出 $A=2, B=C=-1$ ；于是得到:

$$
x^4+(x-y)^4+y^4=2\left(x^2-x y+y^2\right)^2
$$

那么原式 $x^4+(x-4)^4+4^4=2\left(x^2-4 x+16\right)^2$
知道了结果，其实就很容易用其他的方法去凑出来了; 比如:

$$
\begin{aligned}
& x^4+(x-y)^4+y^4 \\
& =\left(x^2+y^2\right)^2-2 x^2 y^2+(x-y)^4 \\
& =\left(x^2+y^2\right)^2-x^2 y^2+(x-y)^4-x^2 y^2 \\
& =\left(x^2+y^2+x y\right)\left(x^2+y^2-x y\right)+\left(x^2+y^2-3 x y\right)\left(x^2+y^2-x y\right) \\
& =\left(x^2+y^2-x y\right)\left[\left(\left(x^2+y^2+x y\right)+\left(x^2+y^2-3 x y\right)\right]\right. \\
& =2\left(x^2+y^2-x y\right)^2
\end{aligned}
$$

**五、求根法**
求根法其实就是我最开始想到的方法，基于的就是因式定理：
若 $a$ 是一元多项式 $f(x)$ 的根，即 $f(a)=0$ 成立，则多项式 $f(x)$ 有一个因式 $(x-a)$.
所以面对一个多项式，我们只要找到一个常数使得多项式为 0 ，那么我们就能够把原本的多项式次数降下来。看到例题就明白了:
例题:
因式分解: $x^3-4 x^2+6 x-4$
这里尝试发现 $2^3-4 \times 2^2+6 \times 2-4=0$ ，所以必有一个因子 $(x-2)$ ，再根据长除法可知:

$$
x^3-4 x^2+6 x-4=(x-2)\left(x^2-2 x+2\right) .
$$

**六. 分组分解法**
分组分解一看这个名字就知道是要把多项式进行分组，然后提取出公因子，从而达到因式分解的目的。但是分组分解法有的时候没那么容易看出来，可能需要一点感觉。
我们利用分组分解法再来做一下上面的例题，
例题:
(1) 因式分解: $x^3-4 x^2+6 x-4$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x^3-2 x^2\right)-\left(2 x^2-4 x\right)+(2 x-4) \\
& =x^2(x-2)-2 x(x-2)+2(x-2) \\
& =(x-2)\left(x^2-2 x+2\right)
\end{aligned}
$$

(2) 因式分解: $9 x^4-3 x^3+7 x^2-3 x-2$

$$
\begin{aligned}
& =9 x^4-3 x^3-2 x^2+9 x^2-3 x-2 \\
& =x^2\left(9 x^3-3 x-2\right)+9 x^2-3 x-2 \\
& =\left(9 x^2-3 x-2\right)\left(x^2+1\right) \\
& =(3 x+1)(3 x-2)\left(x^2+1\right)
\end{aligned}
$$

## 综合运算分解因式

分解因式： $-a b(a-b)^2+a(b-a)^2-a c(a-b)^2$.

解:
$$
\begin{aligned}
& -a b(a-b)^2+a(b-a)^2-a c(a-b)^2 \\
= & -a b(a-b)^2+a(a-b)^2-a c(a-b)^2 \\
= & -a(a-b)^2(b-1+c) \\
= & -a(a-b)^2(b+c-1)
\end{aligned}
$$

#### 例题
把$ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx$分解因式．
 
解：
$$
\begin{split}
    \text{原式}&=(ax^2-ax)+(bx^2-bx)+(cx^2-cx)\\
&=ax (x-1) +bx (x-1) +cx (x-1)\\
&=x (x-1) (a+b+c)
\end{split}     
$$

#### 例题
把$3a^3+6a^2b-3a^2c -6abc$ 分解因式．
$$    
\begin{split}
        3a^3+6a^2b-3a^2c -6abc&=3a (a^2+2ab-ac-2bc)\\
    &=3a [a (a+2b) -c (a+2b) ]\\
    &=3a (a+2b) (a-c).
    \end{split}
$$

#### 例题
将$x^2-y^2+a^2-b^2+2ax+2by$分解因式．
  只要将原式中各项交换、结合，再运用公式即可．

$$
\begin{split}
  \text{原式}&=x^2+2ax+a^2-y^2+2by-b^2\\
  &=(x+a)^2-(y-b)^2\\
  &=(x+a+y-b)(x+a-y+b)\\
  &=(x+y+a-b)(x-y+a+b)  
\end{split}
$$

在运用乘法公式或分组分解因式时，有时需要将多项式作一些人为的变形，常见的是需要**添项**或**拆项**．
#### 例题
 把$x^4+x^2y^2+y^4$分解因式．
 $$
 \begin{align*}
    x^4+x^2y^2+y^4&=x^4+2x^2y^2+y^4 -x^2y^2 \tag{添项}\\
    &=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\
    &=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)
\end{align*}   
$$
#### 例题
把$a^4-11a^2+1$分解因式．
$$
 \begin{align*}
        a^4-11a^2+1&=a^4-2a^2+1-9a^2 \tag{拆项}\\
        &=(a^2-1)^2-(3a)^2\\
        &=(a^2+3a-1)(a^2-3a-1)
    \end{align*}     
  $$
  #### 例题
  把多项式$2x^2-3xy-2y^2+3x+4y-2$分解因式．
   直接视察可知这个多项式的前三项是可
    分解的：$$2x^2-3xy-2y^2=(2x+y)(x-2y)$$
 因而我们推断：多项式$2x^2-3xy-2y^2+3x+4y-2$若能分解成两个一次式，则必然是$(2x+y+n)(x-2y+m)$的形式．我们只要能求出$m$、$n$，多项式即可分解因式；如果$m, n$不存在，就可断定，这个多项式不能分解因式．   
 
 解: $\because 2 x^2-3 x y-2 y^2=(2 x+y)(x-2 y)$
$\therefore$ 可设 $2 x^2-3 x y-2 y^2+3 x+4 y-2=(2 x+y+n)(x-2 y+m)$, 即:
$$
\begin{aligned}
& 2 x^2-3 x y-2 y^2+3 x+4 y-2 \\
= & 2 x^2-3 x y-2 y^2+(2 m+n) x+(m-2 n) y+m \cdot n
\end{aligned}
$$

由多项式恒等, 比较等式两边同类项的系数, 可得:
$$
\begin{gathered}
2 m+n=3 \\
m-2 n=4 \\
m \cdot n=-2
\end{gathered}
$$

可解出 $m=2, n=-1$. 代人.
$$
\therefore \quad 2 x^2-3 x y-2 y^2+3 x+4 y-2=(2 x+y-1)(x-2 y+2)
$$
#### 例题
将 $x^2-y^2+2 x+y-1$ 分解因式
解: $\because x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
$\therefore$ 可设 $x^2-y^2+2 x+y-1=(x+y+m)(x-y+n)$, 即 $x^2-y^2+2 x+y-1=x^2-y^2+(m+n) x+(n-m) y+m n$

比较等式两边同类项的系数, 得:
$$
\begin{gathered}
m+n=2 \\
n-m=1 \\
m \cdot n=-1
\end{gathered}
$$

由上可解出: $m=\frac{1}{2}, \quad n=\frac{3}{2}$. 但将 $m, n$ 的值代人 :
$$
m \cdot n=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \neq-1
$$

即同时满足的 $m, n$ 不存在.
因此, $x^2-y^2+2 x+y-1$ 是不可约多项式, 不能再分解因式.

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