因式分解

日期: 2023-10-16 20:01 查看: 40 次更新导出Word

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

**一、提公因式法**
这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题:
因式分解下列多项式:
(1) $x^3 y-x y^3=x y\left(x^2-y^2\right)=x y(x+y)(x-y)$ ；
(2) $3 x^3-18 x^2+27 x=3 x\left(x^2-6 x+9\right)=3 x(x-3)^2$;
(3) $3 a^3+6 a^2 b-3 a^2 c-6 a b c=3 a\left(a^2+2 a b-a c-2 b c\right)$
$=3 a[a(a-c)+2 b(a-c)]=3 a(a+2 b)(a-c)$.

**二、公式法**

常用的公式如下:

$$
\begin{aligned}
& (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b \\
& (a \pm b)^2=a^2 \pm 2 a b+b^2 \\
& (a \pm b)^3=a^3 \pm 3 a^2 b+3 a b^2 \pm b^3 \\
& a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
& a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) \\
& a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\
& (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a \\
& a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)
\end{aligned}
$$

还有两个常考的 $n$ 次方展开的公式:

$$
\begin{aligned}
& a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)\left(n \in Z^{+}\right) \\
& a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-\cdots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right)(\mathrm{n} \text { is odd })
\end{aligned}
$$

因式分解: $\left(a^2+b^2-1\right)^2-4 a^2 b^2$

$$
\begin{aligned}
& =\left(a^2+b^2-1+2 a b\right)\left(a^2+b^2-1-2 a b\right) \\
& =\left[(a+b)^2-1\right]\left[(a-b)^2-1\right] \\
& =(a+b+1)(a+b-1)(a-b+1)(a-b-1)
\end{aligned}
$$

**三、十字相乘法**

简单的十字相乘其实就是公式 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b$ 的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。熟练的时候也不会想什么口诀，就这样做下来了。
比十字相乘法再进一步的还有双十字相乘法，这种方法适用的是型如:
例题:
因式分解: $2 x^2-7 x y-22 y^2-5 x+35 y-3$
首先考虑 $2 x^2-7 x y-22 y^2=(x+2 y)(2 x-11 y)$
然后考虑 -3 分解，使得 $x, 2 x$ 与 $2 y,-11 y$ 分别交叉相乘得到 $-5 x, 35 y$ 。这个还是比较容易的，很快就能发视 $-3=-3 \times 1$ 就可以了。
最后可知:

$$
2 x^2-7 x y-22 y^2-5 x+35 y-3=(x+2 y-3)(2 x-11 y+1)
$$

**四、待定系数法**

因式分解: $x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3$
由于 $\left(x^2+3 x y+2 y^2\right)=(x+2 y)(x+y)$
不妨设两个一次项分别为 $(x+2 y+m),(x+y+n)$
于是:

$$
\begin{aligned}
& x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3=x^2+3 x y+2 y^2+(m+n) x+(m+2 n) y \\
& +m n
\end{aligned}
$$

比较对应系数可知， $m=3, n=1$
所以，

$$
x^2+3 x y+2 y^2+4 x+5 y+3=(x+2 y+3)(x+y+1)
$$

分解因式: $x^4+(x-4)^4+4^4$
我们研究一个更一般的形式： $x^4+(x-y)^4+y^4$ ；显然原式是我们一般式 $y=4$ 时的一个特解。观察此式，很容易发现这是一个关于 $x, y$ 的轮换对称式，并且 $x y$ 和 $x-y$ 都不是原式的因式，也就是说如果原石能进行因式分解的话，只能分解成两个二次式的乘积，于是我们可以用待定系数法来做。
可设 $x^4+(x-y)^4+y^4=A\left(x^2+B x y+y^2\right)\left(x^2+C x y+y^2\right)$
因为有三个未知数，然后取三个特殊值来求解:
我们分别取 $(x, y)=(1,1),(2,1),(3,1)$ 得到方程组:

$$
\begin{aligned}
& A(2+B)(2+C)=2 \\
& A(5+2 B)(5+2 C)=18 \\
& A(10+3 B)(10+3 C)=98
\end{aligned}
$$

解出 $A=2, B=C=-1$ ；于是得到:

$$
x^4+(x-y)^4+y^4=2\left(x^2-x y+y^2\right)^2
$$

那么原式 $x^4+(x-4)^4+4^4=2\left(x^2-4 x+16\right)^2$
知道了结果，其实就很容易用其他的方法去凑出来了; 比如:

$$
\begin{aligned}
& x^4+(x-y)^4+y^4 \\
& =\left(x^2+y^2\right)^2-2 x^2 y^2+(x-y)^4 \\
& =\left(x^2+y^2\right)^2-x^2 y^2+(x-y)^4-x^2 y^2 \\
& =\left(x^2+y^2+x y\right)\left(x^2+y^2-x y\right)+\left(x^2+y^2-3 x y\right)\left(x^2+y^2-x y\right) \\
& =\left(x^2+y^2-x y\right)\left[\left(\left(x^2+y^2+x y\right)+\left(x^2+y^2-3 x y\right)\right]\right. \\
& =2\left(x^2+y^2-x y\right)^2
\end{aligned}
$$

**五、求根法**
求根法其实就是我最开始想到的方法，基于的就是因式定理：
若 $a$ 是一元多项式 $f(x)$ 的根，即 $f(a)=0$ 成立，则多项式 $f(x)$ 有一个因式 $(x-a)$.
所以面对一个多项式，我们只要找到一个常数使得多项式为 0 ，那么我们就能够把原本的多项式次数降下来。看到例题就明白了:
例题:
因式分解: $x^3-4 x^2+6 x-4$
这里尝试发现 $2^3-4 \times 2^2+6 \times 2-4=0$ ，所以必有一个因子 $(x-2)$ ，再根据长除法可知:

$$
x^3-4 x^2+6 x-4=(x-2)\left(x^2-2 x+2\right) .
$$

**六. 分组分解法**
分组分解一看这个名字就知道是要把多项式进行分组，然后提取出公因子，从而达到因式分解的目的。但是分组分解法有的时候没那么容易看出来，可能需要一点感觉。
我们利用分组分解法再来做一下上面的例题，
例题:
(1) 因式分解: $x^3-4 x^2+6 x-4$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x^3-2 x^2\right)-\left(2 x^2-4 x\right)+(2 x-4) \\
& =x^2(x-2)-2 x(x-2)+2(x-2) \\
& =(x-2)\left(x^2-2 x+2\right)
\end{aligned}
$$

(2) 因式分解: $9 x^4-3 x^3+7 x^2-3 x-2$

$$
\begin{aligned}
& =9 x^4-3 x^3-2 x^2+9 x^2-3 x-2 \\
& =x^2\left(9 x^3-3 x-2\right)+9 x^2-3 x-2 \\
& =\left(9 x^2-3 x-2\right)\left(x^2+1\right) \\
& =(3 x+1)(3 x-2)\left(x^2+1\right)
\end{aligned}

上一篇：乘法公式

下一篇：等式

知识库是科数网倾心打造的大型数学知识网站，欢迎各位老师、数学爱好者加入,联系微信 18155261033，制作不易，也欢迎赞助本站。