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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
函数的可导性与连续性的关系
日期:
2023-10-01 11:28
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函数的可导性与连续性的关系
定理1 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续. 证明 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，由定义得 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ， 因此， $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot 0=0 $$ 故函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续. 注 函数连续末必可导， 这说明连续是可导的必要条件. 例如，函数 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，但在点 $x=0$ 处不可导. 这是 因为在点 $x=0$ 处有 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{-\frac{2}{3}}=+\infty $$ 即导数为无穷大 (导数不存在). 从图形上看(见 图2-9)，在该点处有与 $x$ 轴垂直的切线 $x=0$.  再比如， $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 由 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$ ， 得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，由 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \text { 不存在， } $$ 得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。由图形可知 (见图2-10), 曲线在 $x=0$ 附近无限次震荡. 
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