一元一次方程

日期: 2023-10-03 11:20 查看: 99 次更新导出Word

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**一、方程的有关概念**

1. 方程：含有未知数的等式叫做方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有1个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．

**二、等式的性质**
等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 $a＝b$，那么$ a± c＝b±c.$
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 $a＝b$，那么 $ac＝bc$；如果$ a = b (c≠0)$，那么 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

**三、一元一次方程的解法**

解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，
别漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4) 合并同类项：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式．
(5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式.

**四、实际问题与一元一次方程**

1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
   审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
   设：设未知数，设其中某个未知量为x.
   列：根据题意寻找等量关系列方程．
   解：解方程．
   验：检验方程的解是否符合题意．
   答：写出答案 (包括单位)．
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
   
   (1) 行程问题中基本量之间关系：

```
路程＝速度×时间．
```

① 相遇问题：

```
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
```

② 追及问题：

```
甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；
```

③ 流水行船问题：

```
v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
```

(2) 工程问题中基本量之间的关系：

```
① 工作量 = 工作效率×工作时间；
② 合作的工作效率 = 工作效率之和；
③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效
率×工作时间；
④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1.
```

(3) 销售问题中基本量之间的关系：

```
① 商品利润 = 商品售价－商品进价；
②利润率=商品利润/商品进价 * 100%
③商品售价 = 标价 * 折扣数 /10
④ 商品售价 = 商品进价+商品利润
                      = 商品进价+商品进价×利润率
                      = 商品进价×(1+利润率).
```

例 1 如果 $x=2$ 是方程 $\frac{1}{2} x+a=-1$ 的解, 那么 $a$ 的 值是
(C)
A. 0
B. 2
C. $-2$
D. $-6$
解析: 将 $x=2$ 代入方程得 $1+a=-1$, 解得 $a=-2$.
方法总结: 已知方程的解求字母参数的值, 将方 程的解代入方程中, 得到关于字母参数的方程, 解方程即可得字母参数的值.

例 若 $(m+3) x^{|m|-2}+2=1$ 是关于 $x$ 的一元一次方 程, 则 $m$ 的值为 （3 ）.
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值, 需谨记末知数的系数不为 0 .

例2 下列说法正确的是(D)
A. $x+1=2+2 x$ 变形得到 $1=x$
B. $2 x=3 x$ 变形得到 $2=3$
C. 将方程 $2 x=\frac{3}{2}$ 系数化为 1 , 得 $x=\frac{4}{3}$
D. 将方程 $3 x=4 x-4$ 变形得到 $x=4$
方法总结：已利用等式的性质变形, 需注意符号 问题, 同时一定要谨记, 利用等式性质2变形, 等式两边同时除以一个数时, 该数不能为 0 .

2. 下列运用等式的性质, 变形正确的是   (B)
   A. 若 $x=y$, 则 $x-5=y+5$
   B. 若 $a=b$, 则 $a c=b c$
   C. 若 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$, 则 $2 a=3 b$
   D. 若 $x=y$, 则 $\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$
   
   例3 解下列方程:
   (1) $\frac{2 x+1}{4}-1=x-\frac{10 x+1}{12}$;
   解: 去分母, 得
   
   $3(2 x+1)-12=12 x-(10 x+1) $

去括号, 得 $6 x+3-12=12 x-10 x-1$.
移项, 得 $6 x-12 x+10 x=-1-3+12$.
合并同类项，得 $\quad 4 x=8$.
系数化为 1 , 得 $\quad x=2$.

(2) $\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}\right)-8\right]=\frac{3 x}{2}$.
提示: 先用分配律、去括号简化方程, 再求解较 容易.
解: 去括号, 得 $\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}-6=\frac{3}{2} x$.
移项, 得 $\quad \frac{1}{2} x-\frac{3}{2} x=\frac{1}{4}+6$.
合并同类项, 得 $-x=6 \frac{1}{4}$.
系数化为 1 , 得 $x=-6 \frac{1}{4}$.

3. 解方程: $\frac{x-2}{5}=2-\frac{x+3}{2}$.
   解: 去分母, 得 $2(x-2)=20-5(x+3)$. 去括号, 得 $\quad 2 x-4=20-5 x-15$. 移项, 得 $2 x+5 x=20-15+4$. 合并同类项，得 $7 x=9$. 系数化为 1 , 得 $x=\frac{9}{7}$.

例 4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静 水中速度为 $7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 水流速度为 $2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 往返一次共 用 $28 \mathrm{~h}$, 求甲、乙两码头之间的距离.
解：设甲、乙两码头之间的距离是 $x \mathrm{~km}$. 由顺水航行时间十逆水航行时间＝往返一次共 用时间, 得

$$
\frac{x}{7+2}+\frac{x}{7-2}=28 \text {. }
$$

解得

$$
x=90 \text {. }
$$

答：甲、乙两码头之间的距离是 $90 \mathrm{~km}$.

4. 小明从家里骑自行车到学校, 每小时骑 15 千米, 可早到10分钟; 每小时骑12千米, 就会迟到5分钟, 则他家到学校的路程是多少千米?
   解：设他家到学校的路程是 $x$ 千米,
   依题意得 $\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$.
   解得

$$
x=15 \text {. }
$$

答: 他家到学校的路程是 15 千米.

例 5 抗洪救灾小组在甲地有 28 人, 乙地有 15 人, 现在 又调来 17 人, 分配在甲、乙两地, 要求调配后甲地人 数与乙地人数之比为 $3: 2$, 求应调至甲地和乙地各多 少人?
解: 设应调至甲地 $x$ 人, 则调至乙地的人数为 $(17-x)$ 人， 根据调配后甲乙两地人数的数 量关系得

$$
(28+x) \times \frac{2}{3}=15+(17-x) .
$$

解得 $x=8$. 则 $17-x=9$.
答: 应调至甲地 8 人, 乙地 9 人.

5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共 450 件, 由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件, 调运后甲商场该服装的数量是乙商场的 2 倍，求甲、 乙两商场原来各自有该品牌服装的数量.
   解: 设甲商城原来有该品牌服装 $x$ 件，则乙商城原来有 该品牌服装 $(450-x)$ 件， 根据题意,得 $x+50=2[(450-x)-50]$, 解得 $x=250$, 则 $450-x=200$.
   答: 甲商城原来有该品牌服装250件, 乙商城原来有该 品牌服装200件.

例 6 一项工作, 甲单独做 8 天完成, 乙单独做 12 天完 成, 丙单独做 24 天完成. 现甲、乙合作 3 天后, 甲 因有事离去, 由乙、丙合作, 则乙、丙还要几天才 能完成这项工作?
解: 设乙、丙还要 $x$ 天才能完成这项工作, 由甲、 乙合作 3 天的工作量 $+$ 乙、丙合作的工作量 $=1$, 得

$$
\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\right) \times 3+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{24}\right) x=1 .
$$

解得 $\quad x=3$.
答: 乙、丙还要 3 天才能完成这项工作

6. 一辆拖拉机耕一片地, 第一天耕了这片地的 $\frac{2}{3}$, 第二天耕了剩余部分的 $\frac{1}{3}$, 还剩下 42 公顷, 则这 片地共有 189 公顷.
   解析: 设这片地共有 $x$ 公顷. 由题意, 得

$$
x-\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}\left(x-\frac{2}{3} x\right)=42 .
$$

解得 $\quad x=189$.

例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 $40 \%$ 后作 为标价. 如果商家要想保住 $12 \%$ 的利润率搞促销活 动, 请你计算一下广告上可写出最多打几折?
解: 设最多可以打 $x$ 折, 根据题意得

$$
500 \times(1+40 \%) \times \frac{x}{10}=500 \times(1+12 \%) \text {. }
$$

解得 $x=8$.
答: 广告上可写出最多打 8 折.

7. 一家商店将某种商品按进价提高 $40 \%$ 后标价, 节假 日期间又以标价打八折销售, 结果这种商品每件 仍可获利24元, 问这件商品的进价是多少元?
   解: 设这件商品的进价是 $x$ 元, 根据题意得

$$
x(1+40 \%) \times \frac{8}{10}=x+24 \text {. }
$$

解得 $x=200$.
答: 这件商品的进价是 200 元.

8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品, 为 了吸引顾客, 各自推出不同的优惠方案: 在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后, 超出部分按原价 8 折优惠; 在乙超市累计购买商品超出 200 元之后, 超出部分按原价 $8.5$ 折优惠. 设顾客累计购物 $x$ 元 $(x>300)$. 请用含 $x$ 的代数式分别表示顾客在两家超市购物 所付的费用;

解: 顾客在甲超市购物所付的费用为:

$$
300+0.8(x-300)=(0.8 x+60) \text { 元 }(x>300) \text {; }
$$

顾客在乙超市购物所付的费用为:

$$
200+0.85(x-200)=(0.85 x+30) \text { 元 }(x>300) \text {. }
$$

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