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高等数学[教程类] Calculus（考研专区）
第六章 多元函数微分学
区域的概念
区域的概念
日期:
2023-10-01 11:28
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设 $D$ 是平面上的点集，如果 $D$ 中的点满足下面两个条件，则称 $D$ 为开区域. (1) 对于 $D$ 中的任意一点 $P$ ，如果都能找到它的一个邻域 (见图 6-2)，使 得邻域能够包含在点集 $D$ 中 (这样的点 $P$ 称为点集的内点）. （2）对于 $D$ 中的任意两点，都能用包含在 $D$ 中的折线连接起来，即折线上 的点都在 $D$ 中，见图 6-3. 开区域简称区域.  设 $D$ 是平面区域， $P$ 是平面上的任意一点. 若 $P$ 的任何的一个邻域中，既含有 $D$ 中的点,也有不是 $D$ 中的点,那么 $P$ 称为 $D$ 的边界点（见图 6-4），所 有 边 界 点的集合称为 $D$ 的边界. 区域和它的边界一起构成的集合，称为闭区域. 区域 (或闭区域) 分为有界区域和无界区域. 一个区域 $D$ 如果能够包含在一个原点为中心的圆内， 则称为有界的，否则就是无界区域.  如图 6-5，平面点集 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4\right\}$ 是一个有界的闭区域，边界是 两个圆所对应的曲线: $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=1\right\} \cup\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=4\right\}$ ，边界曲线属于闭 区域 $D$. 图 6-6 所表示的平面点集 $D=\{(x, y) \mid x+y>0\}$ 是无界 (开) 区域. 边界是直 线 $y=-x$ ，边界不属于区域 $D$. 
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