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第六章 多元函数微分学
区域的概念
日期:
2023-10-01 11:28
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区域的概念
设 $D$ 是平面上的点集,如果 $D$ 中的点满足下面两个条件,则称 $D$ 为开区域. (1) 对于 $D$ 中的任意一点 $P$ ,如果都能找到它的一个邻域 (见图 6-2),使 得邻域能够包含在点集 $D$ 中 (这样的点 $P$ 称为点集的内点). (2)对于 $D$ 中的任意两点,都能用包含在 $D$ 中的折线连接起来,即折线上 的点都在 $D$ 中,见图 6-3. 开区域简称区域. ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123153cafd8.png) 设 $D$ 是平面区域, $P$ 是平面上的任意一点. 若 $P$ 的任何的一个邻域中,既含有 $D$ 中的点,也有不是 $D$ 中的点,那么 $P$ 称为 $D$ 的边界点(见图 6-4),所 有 边 界 点的集合称为 $D$ 的边界. 区域和它的边界一起构成的集合,称为闭区域. 区域 (或闭区域) 分为有界区域和无界区域. 一个区域 $D$ 如果能够包含在一个原点为中心的圆内, 则称为有界的,否则就是无界区域. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221231fe9c14e.png) 如图 6-5,平面点集 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4\right\}$ 是一个有界的闭区域,边界是 两个圆所对应的曲线: $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=1\right\} \cup\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=4\right\}$ ,边界曲线属于闭 区域 $D$. 图 6-6 所表示的平面点集 $D=\{(x, y) \mid x+y>0\}$ 是无界 (开) 区域. 边界是直 线 $y=-x$ ,边界不属于区域 $D$. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ff50574.png)
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