二元函数的连续性

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 34 次更新导出Word

定义 3 设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内有定义， $(x, y)$ 是邻 域内任意一点，如果

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right),
$$

则称 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续. 若不然, 就称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处 不连续，此时 $\left(x_0, y_0\right)$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 的间断点.
设函数 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 上有定义，且在 $D$ 上每一点 $f(x, y)$ 都连续，那么就称 函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，或称 $f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数.
一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用. 根据多元函数极 限的运算法则，则有结论：
(1) 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；
(2) 多元连续函数的商在分母不为零时仍为连续函数；
(3) 多元连续函数的复合函数仍为连续函数.
由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复 合步骤而得到的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义 域内的区域或闭区域.
一般地，求 $\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)$ 时，如果 $f(P)$ 是初等函数，且 $P_0$ 是 $f(P)$ 的定义域的 内点，则 $f(P)$ 在 $P_0$ 处连续，于是

$$
\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=f\left(P_0\right) .
$$

例 8 求 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{\mathrm{e}^x+y}{x+y}$.
解 因初等函数 $f(x, y)=\frac{\mathrm{e}^x+y}{x+y}$ 在 $(0,1)$ 处连续，

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{\mathrm{e}^x+y}{x+y}=\frac{\mathrm{e}^0+1}{0+1}=2 .
$$

例 9 求 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}}\left[\ln (y-x)+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}\right]$
解 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}}\left[\ln (y-x)+\frac{y}{\sqrt{1-x}}\right]=\left[\ln (1-0)+\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}\right]=1$.
例 10 求极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{3-\sqrt{x^2+y^2+9}}{x^2+y^2}$.
解当 $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$ 时， $x^2+y^2 \rightarrow 0$ ，故

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \sqrt{x^2+y^2+9}=\sqrt{\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} x^2+y^2+9}=\sqrt{\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^2+y^2\right)+\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} 9}=\sqrt{0+9}=3 .
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{3-\sqrt{x^2+y^2+9}}{x^2+y^2} & =\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{\left(3-\sqrt{x^2+y^2+9}\right)\left(3+\sqrt{x^2+y^2+9}\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(3+\sqrt{x^2+y^2+9}\right)} \\
& =\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{1}{3+\sqrt{x^2+y^2+9}}=\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$

另外，对于函数

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x y}{x^2+y^2} & (x, y) \neq(0,0), \\
0, & (x, y)=(0,0),
\end{array}\right.
$$

由例 5 可知，当 $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$ 时， $f(x, y)$ 的极限不存在，故 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的间 断点.
又如 $f(x, y)=\frac{1}{x+y}$ 是初等函数，它在直线 $y=-x$ 上是没有定义的，所以函 数 $f(x, y)$ 的间断点是平面上的点集 $\{(x, y) \mid x+y=0\}$.
与一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质:
性质 1 (有界性与最大值最小值定理) 若函数 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， 则 $f(P)$ 在 $D$ 上必有界，且能取得最大值和最小值.
性质 2 (介值定理) 若函数 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(P)$ 必取得 介于最大值和最小值之间的任何值.

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