三角形的面积

日期: 2023-10-10 21:16 查看: 18 次更新导出Word

三角形 $\triangle A B C$ 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，那么它的面积公式:

1. 底乘高之半，即假设 $a$ 边对应的高为 $h$ ，则 $S_{\Delta}=\frac{1}{2} a h$.
2. Heron-秦九韶公式: $S_{\Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=\frac{1}{2} C_{\Delta}=\frac{1}{2}(a+b+c)$.
3. 正弦定理: $S_{\Delta}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} a b \sin C$.
4. 用正切函数表示:

$$
S_{\Delta}=\frac{1}{4}\left(a^2+b^2-c^2\right) \tan C=\frac{1}{4}\left[(a+b)^2-c^2\right] \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{4}\left[c^2-(a-b)^2\right] \cot \frac{C}{2} .
$$

5. 外心的面积坐标基本公式: $S_{\Delta}=\frac{a^2}{4} \cot A+\frac{b^2}{4} \cot B+\frac{c^2}{4} \cot C$.
6. 假设三角形在平面直角坐标系中有直角坐标 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right)$ ，那么它的定向面积为

$$
S=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
1 & x_1 & y_1 \\
1 & x_2 & y_2 \\
1 & x_3 & y_3
\end{array}\right|
$$

上式可能会是负值，这使得三角形面积为其绝对值 $S_{\Delta}=|S|$.
7. 水平长乘铅垂高之半: 假设三角形在平面直角坐标系中有直角坐标 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right)$ ，那么

$$
S_{\Delta}=\frac{1}{2}\left(\max y_i-\min y_i\right)\left(\max x_i-\min x_i\right) .

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