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线性代数
第四篇 相似矩阵及二次型
方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
日期:
2023-11-07 09:52
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方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
## 特征值和特征向量的几何意义 方阵乘以一个向量的结果仍是一个同维向量, 矩阵乘法对应了一个变换, 把一个向量变成同维数的另一个向量。在这个变换的过程中, 向量会发生旋转、伸缩或镜像的变化。矩阵不同, 向量变化的结果也会不同。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换, 不对这些向量产生旋转效果, 那么这些向量就是这个矩阵的特征向量, 伸缩的比例就是特征值; 如果伸缩的比例值是负值, 原向量的方向改变为反方向, 原向量仍然是这个矩阵的特征向量。 对于前述的二维旋转矩阵, 比如是逆时针旋转 $\pi / 2$ 弧度的矩阵, 这时我们可以问一个问题:在平面上的所有向量中, 有没有向量在这个矩阵变换下只沿着某根直线缩放或振动而不旋转到其他方向呢? 可以想一下, 除了零向量, 没有其他向量可以在平面上旋转 $\pi / 2$ 而不改变方向的,所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量 (注意: 特征向量不能是零向量)。因此, 一个变换的特征向量是这样一种向量, 它经过这种特定的变换后保持在某个直线上不转动, 只是进行长度上的伸缩而已。 再返回来盯着特征向量的定义 “ $\boldsymbol{A a}=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{a}$ ”, 目不转睛保持 3 分钟……没顿悟? 棒喝: 不要忘了 $\boldsymbol{A}$ 就是一个变换。再回来对着定义式目不转睛 $\cdots \cdots \cdot$, 这时你豁然顿悟了: $\lambda \boldsymbol{a}$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 对向量 $\boldsymbol{a}$ 进行变换后的结果，但显然 $\lambda \boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{a}$ 是在一条直线上 (方向相同或相反)。特征值 $\lambda$ 只不过反映了特征向量 $\boldsymbol{a}$ 在变换时的伸缩倍数而已。 例如, 设某矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和两个向量 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right) 、 \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)$, 那么, 矩阵对两个向量的变换结果为 $\boldsymbol{a}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}-5 \\ -1\end{array}\right)$ 和 $\boldsymbol{b}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)$, 几何图形如图 5-32 所示。  显然, 只有向量 $\boldsymbol{b}$ 被矩阵 $\boldsymbol{A}$ 同方向拉长了 2 倍, 即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{b}$, 因此向量 $\boldsymbol{b}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 特征值为 2 。 对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 大多数向量 $\boldsymbol{a}$ 不满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{a}$ 这样的一个方程。因为当向量 $\boldsymbol{a}$ 被矩阵相乘时几乎都将改变 $\boldsymbol{a}$ 的方向, 因此 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{a}$ 常常不是倍数的关系。这意味着只有某些特殊的数 $\lambda$是特征值, 而且只有某些特殊的少数向量是特征向量(有的矩阵干脆一个没有)。当然有个例外,如 $\boldsymbol{A}$ 是单位矩阵或单位矩阵的倍数, 那就没有向量被改变方向, 从而所有的向量都是特征向量。 因此, 从矩阵的几何意义来看, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量 $\boldsymbol{a}$ 就是经过矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变换后与自己平行(方向相同或者相反)的非零向量, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda$ 就是特征向量 $\boldsymbol{a}$ 经变换后的伸缩系数。 **定义** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量使关系式 $$ A \alpha=\lambda \alpha $$ 成立，那么数 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $\alpha$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 例如，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right) \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ ，则有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ 所以数 3 是矩阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 是 $A$ 的对应于特征值 3 的特征向量. 一个任意给定的 $n$ 阶矩阵 $A$ 会有多少个特征值? 对应的特征向量又该如何求呢? 假设矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$, 则有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 将 $A \alpha=\lambda \alpha$ 改写成 $$ (A-\lambda E) \alpha=\mathbf{0}, $$ 可见， $\alpha$ 是 $n$ 个末知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组 $(A-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的非零解. 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 $$ |A-\lambda \boldsymbol{E}|=0 $$ 记 $$ f(\lambda)=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n n}-\lambda \end{array}\right|, $$ 则 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的 n次多项式，称为矩阵 $A$ 的特征多项式. 从而公式 $|A-\lambda E|=0$ 可以写 成 $f(\lambda)=0$ 这是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程，而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值就 是特征方程的根. 我们知道，一元 $n$ 次方程在复数范围内恒有 $n$ 个根 (重根按重数计算). 因 此， $n$ 阶矩阵 $A$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值，通过解矩阵 $A$ 的特征方程就可以得到这 $n$ 个特征值. 设 $\lambda=\lambda_i$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则由方程 $\left(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 可求得非零解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}_{i^{\prime}}$ 那么 $\alpha_i$ 便是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量. (若 $\lambda_i$ 为实数，则 $\alpha$ 可取实向量； 若 $\lambda_i$ 为复数，则 $\alpha_i$ 可取复向量.) 例1 $$ \text { 求矩阵 } A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \text { 的特征值和特征向量. } $$ 矩阵 $A$ 的特征多项式为 $$ |\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda), $$ 所以 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2 ， \lambda_3=3$. 由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.      
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