实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 34 次更新导出Word

性质 1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 先介绍一个记号. 设复数矩阵 $X=\left(x_{ij}\right)$ ，复数 $x_{ij}$ 的共轭复数为 $\bar{x}_{i j}$ ，记 $\bar{X}=\left(\bar{x}_{ij}\right)$ ，则 矩阵 $\bar{X}$ 称为矩阵 $X$ 的共轭矩阵.
设复数 $\lambda$ 为对称阵 $A$ 的特征值，复向量 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\top}$ 为对应的特征向量，即 $\boldsymbol{A x}=\lambda \boldsymbol{x}$. 用 $\bar{\lambda}$ 表示$\lambda$的共轭复数， $\overline{\boldsymbol{x}}=\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \cdots, \bar{x}_n\right)^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 的共轭复向量，而 $\boldsymbol{A}$ 为实 对称矩阵，有 $\bar{A}=A$ 及 $A^{\mathrm{T}}=A$ ，于是

$$
\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}=\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}(A \boldsymbol{x})=\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}(\lambda \boldsymbol{x})=\lambda \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} ，
$$

且

$$
\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{x}=(\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}})^{\mathrm{T}} x=(\overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{x}})^{\mathrm{T}} x=(\overline{\boldsymbol{A} x})^{\mathrm{T}} x=(\bar{\lambda} \boldsymbol{x})^{\mathrm{T}} x=\bar{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x},
$$

两式相减，得

$$
(\bar{\lambda}-\lambda) \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0,
$$

由 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ 可知

$$
\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^n \bar{x}_i x_i=\sum_{i=1}^n|\boldsymbol{x}|^2 \neq 0,
$$

故 $\bar{\lambda}-\lambda=0$ ，即 $\lambda=\bar{\lambda}$ ，这就说明 $\lambda$ 为实数.
当特征值 $\lambda_i$ 为实数时，齐次线性方程组

$$
\left(A-\lambda_i E\right) x=0
$$

是实系数方程组，由 $\left|\boldsymbol{A}-\lambda_1 E\right|=0$ 知必有实的基础解系，所以对应的特征向量可
以取实向量.
性质 2 设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是对称阵 $A$ 的两个特征值， $p_1, p_2$ 是对应的两个特征向量. 若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，则 $p_1$ 与 $\boldsymbol{p}_2$ 正交.

证明 已知 $A p_1=\lambda_1 p_1, A p_2=\lambda_2 p_2, \lambda_1 \neq \lambda_2$ ，且 $A$ 对称，于是

$$
\lambda_1 p_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2=\left(\lambda_1 \boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{p}_2=\left(\lambda_1 \boldsymbol{p}_1\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2=\left(A p_1\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2=\boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2=\boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}}\left(A \boldsymbol{p}_2\right)=\boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}}\left(\lambda_2 \boldsymbol{p}_2\right)=\lambda_2 \boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2 ，
$$

即

$$
\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \boldsymbol{p}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_2=0 .
$$

但 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，故 $p_1^{\mathrm{T}} p_2=0$ ，即 $p_1$ 与 $p_2$ 正交.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102ee16e30.png)

将对称阵 $A$ 对角化的步骤如下：
(i) 求出 $\boldsymbol{A}$ 的全部互不相等的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ ，它们的重数依次为

$$
k_1, k_2, \cdots, k_s\left(k_1+k_2+\cdots+k_s=n\right) ；
$$

(ii) 对于每个 $k_i$ 重特征值 $\lambda_i$ ，求方程 $\left(A-\lambda_i E\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，得 $k_i$ 个线性无关的 特征向量，再把它们正交化、单位化，得 $k_i$ 个两两正交的单位特征向量. 因 $k_1+k_2+\cdots+k_s=n$ ，故总共可得 $n$ 个两两正交的单位特征向量.
（iii) 把这 $n$ 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 $\boldsymbol{P}$ ，便有 $P^{-1} A P=P^{\mathrm{T}} A P=\Lambda$. 注 意 $\Lambda$ 中对角元的排列次序应与 $\boldsymbol{P}$ 中列向量的排列次序相对应.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102ec96d1a.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102be1e041.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301025eae2c1.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102d7e3162.png)
先将 $\alpha_2$ 与 $\alpha_3$ 正交化：令

$$
\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2\right)} \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right),
$$

再将 $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 单位化，得

$$
p_2=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_2\right\|} \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}
-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
0
\end{array}\right), \quad p_3=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_3\right\|} \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{c}
-\frac{\sqrt{6}}{6} \\
-\frac{\sqrt{6}}{6} \\
\frac{\sqrt{6}}{3}
\end{array}\right) 。
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301022c718c6.png)

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