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概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
事件的相互独立性
日期:
2023-12-24 09:51
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事件的相互独立性
## 事件的独立性 独立性是概率论中又一个重要概念, 利用独立性可以简化概率的计算. 下面先讨论两个事件之间的独立性, 然后讨论多个事件之间的相互独立性, 最后讨论试验之间的独立性. 两个事件之间的独立性是指:一个事件的发生不影响另一个事件的发生. 这在实际问题中是很多的, 譬如在掷两颗骰子的试验中, 记事件 $A$ 为 “第一颗骰子的点数为 1 ”, 记事件 $B$ 为 “第二颗骰子的点数为 4 ”. 则显然 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的. 再如检测一批电灯的良品率,第一个产品的良品与否不影响第二个产品的良品与否。 相反,如果一个事件受到另外一个另外一个事件影响,则不能称为独立性,比如测量学生身高和体重,正常情况下,学生身高越高体重越重,我们就认为身高和体重并不具有独立性。 ## 定义 从概率的角度看, 事件 $A$ 的条件概率 $P(A \mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的差别在于: 事件 $B$ 的发生改变了事件 $A$ 发生的概率, 也即事件 $B$ 对事件 $A$ 有某种“影响”.如果事件 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的, 则有 $P(A \mid B)=P(A)$ 和 $P(B \mid A)=P(B)$, 它们都等价于 $$ P(A B)=P(A) P(B) $$ 称两个事件 $A, B$ 是相互独立的。 **定义** 如果$P(A B)=P(A) P(B)$成立, 则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 简称 $A$ 与 $B$ 独立. 否则称 $A$ 与 $B$ 不独立或相依. 在许多实际问题中, 两个事件相互独立大多是根据经验 (相互有无影响) 来判断的, 如上述郑两颗骰子问题中 $A$ 与 $B$ 的独立性. 但在有些问题中, 有时也用上式来判断两个事件间的独立性. ①有些事件比较容易判断是否独立,例如扔骰子,第一次扔的点数和第二次扔的点数显然没有关系,因此我们可以得到 $P(A B)=P(A) P(B)$ ②有些事件判断是否独立比较困难,但是,如果我们能得到 $P(A B)=P(A) P(B)$ 我们就认为他们独立。 请仔细体会上面两句话的区别,这有点类似初中学习的:两直线平行则内错角相等 和 内错角相等则两直线平行。 一个是结论,一个是推断。 例1 抛郑两枚均匀硬币次次, $A=\{$ 第一枚出现正面 $\}, B=\{$ 第二枚出现正面 $\}$ ,判断事件 $A$ 与 $B$ 是否独立的. 解 不难计算 $$ \begin{gathered} P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2}, P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{1}{4} \\ \text { 可见 } \quad P(B)=P(B \mid A), P(A B)=P(A) P(B) \end{gathered} $$ 即事件 $A$ 与 $B$ 是独立的. **定义2** 若事件 $A$ 与 $B$ 独立,则 $A$ 与 $\bar{B} ; \bar{A}$ 与 $B ; \bar{A}$ 与 $\bar{B} ;$ 也相互独立. 即有 $$ \begin{aligned} & P(A B)=P(A) P(B) \\ & P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B}) \end{aligned} $$ 相应可列出其它等式. **定义3** 称事件组 $A, B, C$ 是两两独立的,有 $$ \begin{aligned} & P(A B)=P(A) P(B) \\ & P(B C)=P(B) P(C) \\ & P(A C)=P(A) P(C) \end{aligned} $$ **定义4** 称事件组 $A, B, C$ 是相互独立的,有 $$ \begin{gathered} P(A B)=P(A) P(B) \\ P(B C)=P(B) P(C) \\ P(A C)=P(A) P(C) \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C) \end{gathered} $$ 独立性的定义可推广到 $n$ 个事件上去. 特别地,当事件 $A_1, A_2, \ldots A_n$, 相互独立时,有 $$ P\left(A_1 A_2 \ldots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \ldots P\left(A_n\right) $$ $$ P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 \ldots \bar{A}_n\right)=P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2\right) \ldots P\left(\bar{A}_n\right) $$ **例2** 两射手彼此独立地向同一目标射击, 设甲射中目标的概率为 0.9 , 乙射中目标的概率为 0.8 , 求目标被击中的概率是多少? 解 记 $A$ 为事件 “甲射中目标”, $B$ 为事件 “乙射中目标”. 注意到事件 “目标被击中” $=A \cup B$, 故 $$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A) P(B)=0.9+0.8-0.9 \times 0.8=0.98 . $$ 此题也可用对立事件公式求解, 具体是 $$ \begin{aligned} P(A \cup B) & =1-P(\overline{A \cup B})=1-P(\bar{A} \bar{B}) \\ & =1-P(\bar{A}) P(\bar{B})=1-(1-0.9)(1-0.8) \\ & =1-0.1 \times 0.2=0.98 . \end{aligned} $$ **例3** 某零件用两种工艺加工, 第一种工艺有三道工序, 各道工序出现不合格品的概率分别为 $0.3,0.2,0.1$; 第二种工艺有两道工序, 各道工序出现不合格品的概率分别为 $0.3,0.2$. 试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些? (2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时, 情况又如何? 解 以 $A_i$ 记事件 “用第 $i$ 种工艺加工得到合格品”, $i=1,2$. (1) 由于各道工序可看作是独立工作的, 所以 $$ \begin{aligned} & P\left(A_1\right)=0.7 \times 0.8 \times 0.9=0.504, \\ & P\left(A_2\right)=0.7 \times 0.8=0.56, \end{aligned} $$ 即第二种工艺得到合格品的概率较大些. 这个结果也是可以理解的, 因为第二种工艺前两道工序出现不合格品的概率与第一种工艺相同, 但少了一道工序, 所以减少了出现不合格品的机会. (2) 当第二种工艺的两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时, $$ P\left(A_2\right)=0.7 \times 0.7=0.49, $$ 即第一种工艺得到合格品的概率较大些. **例4** 有两名选手比赛射击, 轮流对同一目标进行射击, 甲命中目标的概率为 $\alpha$, 乙命中目标的概率为 $\beta$. 甲先射, 谁先命中谁得胜. 问甲、乙两人获胜的概率各为多少? 解法一 记事件 $A_i$ 为 “第 $i$ 次射击命中目标”, $i=1,2, \cdots$. 因为甲先射, 所以事件 “甲获胜”可以表示为 $$ A_1 \cup \overline{A_1} \overline{A_2} A_3 \cup \overline{A_1} \bar{A}_2 \bar{A}_3 \bar{A}_4 A_5 \cup \cdots . $$ 又因为各次射击是独立的, 所以得 $$ \begin{aligned} P\{\text { 甲获胜 }\} & =\alpha+(1-\alpha)(1-\beta) \alpha+(1-\alpha)^2(1-\beta)^2 \alpha+\cdots \\ & =\alpha \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i \\ & =\frac{\alpha}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} . \end{aligned} $$ 同理可得 $$ \begin{aligned} P\{\text { 乙获胜 }\} & =P\left(\bar{A}_1 A_2 \cup \bar{A}_1 \bar{A}_2 \bar{A}_3 A_4 \cup \cdots\right) \\ & =(1-\alpha) \beta+(1-\alpha)(1-\beta)(1-\alpha) \beta+\cdots \\ & =\beta(1-\alpha) \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i \\ & =\frac{\beta(1-\alpha)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} . \end{aligned} $$
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