日期: 2023-10-01 11:28 查看: 175 次编辑导出本文

连续型随机变量函数的分布

例 16
设 $\mathrm{X}$ 服从区间 $(1,3)$ 上的均匀分布，求 $X^2$ 的密度函数。

解 随机变量 $X$ 的取值范围 $(1,3)$ ，故随机变量 $Y=X^2$ 的取值范围为区间 $(1,9) ， Y$ 仍 然是一个连续型随机变量。因此需求解 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ 和概率密度函数 $f_Y(y)=F^{\prime}(y)$ 。
根据题意， $X$ 的概率密度函数为 $\quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1<x<3 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$
$\mathrm{Y}$ 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301036e2a449.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301038abde28.png)
例17
设 $X \sim N(0,1)$ ，求随机变量 $Y=|X|$ 的密度函数.
解 易得随机变量 $Y=|X|$ 的取值范围为区间 $[0,+\infty) ， Y$ 仍然是一个连续 型随机变量。当 $y \geq 0$ 时， $Y$ 的分布函数为

$$
F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(|X| \leq y)=P(-y \leq X \leq y)=\Phi(y)-\Phi(-y)
$$

直接对上式求导有 $f_Y(y)=F_y^{\prime}(y)=\Phi^{\prime}(y)-\Phi^{\prime}(-y)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}$
所以， $Y$ 的概率密度函数为 $\quad f_Y(y)= \begin{cases}\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}$
定理 1 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x) ， Y=g(X)$ 是连续型随机变量， 若 $y=g(x)$ 为严格单调函数， $x=g^{-1}(y)$ 为相应的反函数，且为可导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)=f_X\left(g^{-1}(y)\right) \cdot\left|\left[g^{-1}(y)\right]\right|
$$

定理 2 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则当 $k \neq 0$ 时， $Y=k X+b \sim N\left(k \mu+b, k^2 \sigma^2\right)$ ， 特别地， $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
例 18
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求随机变量 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数.
解 因 $y=\mathrm{e}^x$ 的反函数为 $x=\ln y$ ；当 $y>0$ 时单增， $x^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，所以当 $y>0$ 时

$$
f_Y(y)=f_X(\ln y)(\ln y)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
$$

所以 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}

上一篇：离散型随机变量函数的分布

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0) 赞助我们

0 篇笔记写笔记

更多笔记