数学期望的定义

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 22 次更新导出Word

定义1
设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为

$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots
$$

当级数 $\sum_i x_i p_i$ 绝对收玫时, 称 $\sum_i x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的数学期望 (或期望、均值)，记作 $E(X)$.

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定义2
设 $X$ 是连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ，如果广义积分
$\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收玫, 则称

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x .
$$

为连续型随机变量 $X$ 的数学期望, 也称作期望或均值。

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例4 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数如下，问 $E(X)$ 是否存在

$$
f(x)=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2},-\infty<x<+\infty . \quad E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x
$$

解 $\quad \int_{-\infty}^{+\infty}|x| f(x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2} d x=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\pi} \cdot \frac{|x|}{1+x^2} d x$
而 $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x^2=\frac{1}{2 \pi}\left[\ln \left(1+x^2\right)\right]_0^{+\infty}=+\infty \quad$ 所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}|x| f(x) d x$ 发散
同理

$$
\int_{-\infty}^0|x| \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2} d x=-\infty
$$

$$
\text { 所以 } \int_{-\infty}^{+\infty}|x| f(x) d x \text { 发散. 由此 } E(X) \text { 不存在. }
$$

例5 设有离散型随机变量 $X$ ，在下列三种情况下计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
(1) $X \sim B(1, p)$;(2) $X \sim B(n, p)$;
(3) $X \sim P(\lambda)$.
解
(1) 因为 $X \sim B(1, p)$, 所以 $E(X)=\sum_i x_i p_i=0 \cdot q+1 \cdot p=p$
(2) 因为 $X \sim B(n, p)$, 所以 $P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^k q^{n-k}, k=0,1,2, \cdots, n$.
由期望的定义得

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\sum_{k=0}^n k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^k q^{n-k}=\sum_{k=1}^n \frac{n !}{(k-1) !(n-k) !} p^k q^{n-k} \\
& =n p \sum_{k=1}^n \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{n-1-(k-1)} \\
&
\end{aligned}
$$

(3) 因为 $X \sim P(\lambda)$, 所以 $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots$.
由期望的定义得

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\sum_{k=0}^n k \frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\
&
\end{aligned}
$$

例6 设有连续型随机变量 $X$ ，在下列三种情况下计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
(1) $X \sim U(a, b)$; (2) $X \sim E(\lambda)$;
(3) $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$.
解 (1) 因为 $X \sim U(a, b)$ ，所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

由期望的定义得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_a^b \frac{x}{b-a} d x=\frac{a+b}{2}
$$

(2) 因为 $X \sim E(\lambda)$ ，所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0 .\end{cases}
$$

由课前导读中的积分公式 1 得

$$
\begin{array}{r}
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_0^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} d x=\lambda \cdot \frac{1 !}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda} \\
\text { 或 }=-\left.x e^{-\lambda x}\right|_0 ^{+\infty}+\int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} d x=-\left.\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right|_0 ^{+\infty}=\frac{1}{\lambda}
\end{array}
$$

解
（3）因为 $X \sim N\left(\mu, \sigma_1^2\right)$ 所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
$$

由期望的定义得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} d x \stackrel{\text { 今े } t=\frac{x-\mu}{\sigma}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}(\sigma t+\mu) \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{t^2}{2}} \cdot \sigma d t=\mu

上式使用了密度函数的规范性

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