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概率论与数理统计
第五篇 大数定理
切比雪夫不等式
日期:
2023-10-01 11:28
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切比雪夫不等式
定理1切比雪夫不等式 设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$ 存在,则对于任意的 $\varepsilon>0$ ,有 $$ P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} $$ 证明: 仅给出 $X$ 为连续型随机变量的证明。 $$ \begin{aligned} & P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)=\int_{|x-\varepsilon(x)| \geq \varepsilon} f(x) d x \leq \int_{|x-E(x)| \sum \varepsilon} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x \\ & \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x=\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \end{aligned} $$ 例1 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 计算 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。 解: 因为 $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ,所以 $$ \begin{aligned} & P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right) \\ & P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right)=2-2 \Phi(3)=0.003 \end{aligned} $$ 例2 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 用切比雪夫不等式估计概率 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。 解 因为 $\varepsilon=3 \sigma$ ,由切比雪夫不等式得 $$ \begin{aligned} & P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\ & P(|X-\mu| \geq 3 \sigma) \leq \frac{D(X)}{(3 \sigma)^2}=\frac{1}{9} \end{aligned} $$ 设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)=0$ ,求证, $X$ 服从参数为 $c$ 的退化分布。 证明 利用切比雪夫不等式得,对任意的 $\varepsilon>0$ ,有 $$ 0 \leq P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}=0 $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性知 $$ P(X=E(X))=1 $$
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