复平面

日期: 2023-10-10 09:11 查看: 18 次更新导出Word

复平面是实数轴的推广，在研究复变函数的有关问题时我们需要先定义一些基本概念，这些概念是以后研究复变函数的基础。)

## 平面点集

我们将平面上的某些点组成的集合称为平面点集，简称点集，例如，平面上的一条曲线、一个区域都是点集。
**邻域**
复平面上邻域的概念是实变函数中邻域概念的推广，我们称满足不等式 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 的所有点的集合称为 $z_0$ 的 $\delta$ 邻 域，它是以 $z_0$ 为圆心， $\delta$ 为半径的圆形区域，记作 $N_\delta\left(z_0\right)$ 。特别地，如果选取的区域是 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ ，就称 这个集合是 $z_0$ 的去心邻域，记作 $N_\delta\left(z_0\right)-\left\{z_0\right\}$ 。
邻域的概念是复变函数极限理论的基础。

**聚点**
称 $z_0$ 为点集 $E$ 的聚点或极限点，如果有 $\forall r>0, N_r\left(z_0\right) \cap\left(E-\left\{z_0\right\}\right)$ ，聚点不必在点集 $E$ 中，例如 $z_0$ 的任意一 个去心邻域都以 $z_0$ 为聚点，与聚点有关的定理是聚点定理。若 $\exists r>0, N_r\left(z_0\right) \subseteq E$ ，则它是 $E$ 的内点，内点 $z_0-$ 定是点集 $E$ 的聚点。
如果 $z_0$ 不是 $E$ 的聚点：分为两种情况，若 $z_0 \in E$ ，称作点集 $E$ 的孤立点；若 $z_0 \notin E$ ，称作点集 $E$ 的外点。
若 $z_0$ 既不是 $E$ 的内点，也不是 $E$ 的外点，称其为 $E$ 的界点，与界点有关的定理是界点定理。所有界点共同组成了 $E$ 的边界，记作 $\partial E$ 。
习惯上我们把点集 $E$ 的所有聚点组成的点集用 $E^{\prime}$ 表示。

**闭集**
若 $E$ 的每一点都是它的内点，称 $E$ 为开集，如果 $E^{\prime} \subseteq E$ ，则称 $E$ 为闭集， $E$ 的边界都是闭集。
如果 $E$ 的所有点都含于某个圆形区域中，就称 $E$ 为有界集，反之为无界集。有界集大小的一个度量是有界集的直径， 它被定义为 $d(E)=\sup _{z_1, z_2 \in E}\left|z_1-z_2\right|$.

## 曲线

在平面上的曲线是通过参数方程确定的，设 $x(t), y(t)$ 是关于 $t$ 的连续实函数，且 $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ (不必取等号)，那么 通过方程

$$
z=x(t)+\mathrm{i} y(t)=z(t)
$$

确定的一条参数曲线称为复平面上的连续曲线，以上方程也叫做曲线的参数方程， $z(\alpha), z(\beta)$ 分别叫做曲线的起点和 终点，如果 $z(\alpha)=z(\beta)$ 那么称这条曲线是闭曲线。
如果存在 $\alpha<t_1<\beta, \alpha \leqslant t_2 \leqslant \beta, t_1 \neq t_2$ ，满足 $z\left(t_1\right)=z\left(t_2\right)$ ，那么称点 $z\left(t_1\right)$ 为这条曲线的重点，没有重点 的曲线称为简单曲线或 Jordan 曲线。例如线段，圆弧段都是简单曲线，圆是简单闭曲线。

**光滑曲线**
如果连续曲线

$$
z=x(t)+\mathrm{i} y(t)=z(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta
$$

在 $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 上导数 $x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$ 存在且连续、不全为零（特别地，在端点处是指单侧导数），我们就称这条曲线是 光滑曲线，光滑曲线一定是可求长的。
如果一条曲线是由有限条光滑曲线拼接而成，那么这条曲线称为逐段光滑曲线，它也是可求长的。
曲线的内部与外部 $\theta$
一条简单闭曲线 $C$ 能够将复平面分为彼此不交的三部分，分别是曲线本身、一个有界区域（称为曲线的内部）以及一 个无界区域（称为曲线的外部），且分别连接内部与外部中某两个点的简单曲线一定与 $C$ 有交点，这就是 Jordan 定 理。
简单闭曲线的方向通过内部与外部规定: 沿着曲线按某个方向行走，如果曲线的内部一直在左侧，我们就称这个方向 为正方向。

## 区域

如果一个平面内的开集 $E$ 中任意两点之间都可用一条全在 $E$ 上的点组成的曲线相连接，那么就称 $E$ 为一个区域，这 是复变函数中的又一重要概念，它是实变函数中区间的推广，是拓扑空间中道路连通性的体现。
一个区域连同所有的界点称为一个闭域，常用 $\bar{E}:=E \cap \partial E$ 表示。

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