棣莫弗公式

日期: 2023-10-10 09:14 查看: 18 次更新导出Word

棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式，命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗 (Abraham de Moivre)。

对任意复数 $x$ 和整数 $n$ ，下列性质成立:

$$
(\cos x+\mathrm{i} \sin x)^n=\cos n x+\mathrm{i} \sin n x .
$$

其中 $i$ 是虚数单位。方便起见，我们常常将 $\cos x+\mathrm{i} \sin x$ 合并为另一个三角函数 $\operatorname{cis} x$ ，也就是说：

$$
\operatorname{cis}^n x=\operatorname{cis} n x .
$$

一般我们常常限制 $x \in \mathbb{R}$ ，这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把 $\cos n x$ 和 $\sin n x$ 变化为 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的形 式。

## 证明

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。
令 $P(n)=(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta), n \in \mathbb{N}$.

1. 当 $n=0$ 时，显然成立。
2. 当 $n=1$ 时，显然成立。
3. 当 $n>1$ 时：假设 $P(k)$ 成立，即 $(\cos \theta+i \sin \theta)^k=\cos (k \theta)+i \sin (k \theta)$ ，当 $n=k+1$ 时：

$$
\begin{aligned}
(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)^{k+1} & =(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)^k \cdot(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \\
& =(\cos k \theta+\mathrm{i} \sin k \theta) \cdot(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \\
& =(\cos k \theta \cdot \cos \theta+\mathrm{i} \sin k \theta \cdot \mathrm{i} \sin \theta)+(\cos k \theta \cdot \mathrm{i} \sin \theta+\mathrm{i} \sin k \theta \cdot \cos \theta) \\
& =(\cos k \theta \cdot \cos \theta-\sin k \theta \cdot \sin \theta)+\mathrm{i}(\cos k \theta \cdot \sin \theta+\sin k \theta \cdot \cos \theta) \\
& \stackrel{(1)}{=} \cos (k \theta+\theta)+\mathrm{i} \sin (k \theta+\theta) \\
& =\cos [(k+1) \theta]+\mathrm{i} \sin [(k+1) \theta] .
\end{aligned}
$$

等号(1)处使用和角公式。因此， $P(k+1)$ 也成立。 综上所述，根据数学归纳法， $\forall n \in \mathbb{N}, P(n)$ 成立。
另外，由恒等式：

$$
(\cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)) \cdot(\cos (-n \theta)+\mathrm{i} \sin (-n \theta))=1 .
$$

可知，公式对于负整数情况也成立。证毕。

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