群

日期: 2023-10-24 14:23 查看: 19 次更新导出Word

在抽象代数中，群（group）是一个基本的概念，在集合论的公理化中，群是一个非空集合加上满足某些性质的运算的一个整体。

## 引子-方程的根

**以下内容来自伽罗瓦介绍，内容有重复**

伽罗瓦（Évariste Galois），法国数学家。群论的创立者。利用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题。伽罗瓦想解决的问题看起来很简单。

**1.一元一次方程**

$$
a x+b=0
$$

直接移项就可以得到

$$
x=-b / a
$$

**2.一元二次方程**

在学了一元二次方程

$$
a x^2+b+c=0
$$

凑平方法也可以容易地得到

$$
x  =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

**3.一元三次方程**
对于一元三次方程，也找到了求根公式。

不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。

到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了，不过直到伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。
这就是我们的问题: 为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号 得到一般解?

为了搞清楚，为什么 $5$ 以上的数字跟 $2 ， 3 ， 4$ 如此不同，我们先来看一看 $1$ 与 $2 ， 3 ， 4$ 有何不同。 对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可，而加减乘除，并不会让有理数变成无理 数 。通常我们将有理数表示为 $Q$ ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 $Q$ 称为有理数域 $Q$ 。域的定义你就可以直接理解为: 集合元素对加减乘除封闭。大家熟知的实数，复数也都是域。

为什么我们要谈封闭性? 很简单，因为方程里面只含有加减乘除，要是不封闭了，那 $x$ 就不是有理数，那这样 $\mathrm{c}$ 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。

那$2,3,4 $ 呢?
比如说方程
$x^2-4 x+1=0$
很容易求出它的两个解是

$$
\begin{aligned}
& x_1=2+\sqrt{3} \\
& x_2=2-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$

这个解很显然不在有理数 $Q$ 之内，那我们现在要把 $Q$ 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太 大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张 $\mathrm{Q}$ 。那么我们最终得到的就是这样一个无理数集合。这样，我们就知道一个二次方程，在有理数域里是没有根的，必须扩展到无理数域。

## 定义

设有一个非空集合 $G$ ，其上定义了一个二元运算 $\cdot$ 。我们称 $(G, \cdot)$ 是一个群，如果

1. 结合性: $\forall a, b, c \in G,(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$;
2. 单位元: $\exists e \in G, \forall a \in G, a \cdot e=e \cdot a=a$;
3. 逆元: $\forall a \in G, \exists b \in G, a \cdot b=b \cdot a=e$.

群 $(G, \cdot)$ 在不引起混淆的情况下也记作 $G$ ，该运算 - 也称作群 $G$ 上的“乘法”。

1. 群中的单位元是唯一的，通常将其记作 $e$;
2. 群中的逆元是唯一的，对于 $a \in G$ 的逆元，通常将其记作 $a^{-1}$.

为了方便，我们使用记号 $a b$ 代替 $a, b \in G$ 的乘法 $a \cdot b$ ，同时 $a b$ 也表示其运算的结果；另外使用记号 $a^n$ 表示 $n$ 个 $a$做乘法运算，其中 $n \in \mathbb{N}^{+}$，约定 $a^0=e, a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^n, n \in \mathbb{N}^{+}$.

上一篇：没有了

下一篇：半群

知识库是科数网倾心打造的大型数学知识网站，欢迎各位老师、数学爱好者加入,联系微信 18155261033，制作不易，也欢迎赞助本站。