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希尔伯特 Hilbert
希尔伯特 Hilbert
日期:
2023-10-08 19:32
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希尔伯特 Hilbert, 德国数学家，是19世纪末和20世纪前期最具影响力的数学家之一，被誉为“现代数学之父”之一。 {width=200px} ## 希尔伯特旅馆 希尔伯特旅馆悖论是一个与无限集合有关的数学悖论，由德国数学家大卫·希尔伯特提出。 我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。” 再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。 我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。 于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！ 此时，又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，只见这个老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号。这样，1号，3号，5号……所有非2^n^(n∈N^+^)号房间就都空出来了。 无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，其势记为 $ \aleph _{0} $（阿列夫零）。 另外，我们还可以说，对于任意可数无限集，都存在由这一集合至自然数集的双射，即便这一集合（如有理数集）本身就包含了自然数集。 ## 希尔伯特空间 在数学里，希尔伯特空间（英语：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一个带有内积的完备向量空间。内积的构造推广了欧几里得空间的距离和角的概念；完备则确保了其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的许多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要数学基础之一。 希尔伯特空间可以用来研究振动的弦的谐波。 {width=400px} ## 希尔伯特曲线 希尔伯特曲线一种能填充满一个平面正方形的分形曲线 (空间填充曲线)，由大卫.希尔伯特在1891年提 出。 由于它能填满平面，它的豪斯多夫维是 2 。取它填充的正方形的边长为 1 ，第 $\mathrm{n}$ 步的希尔伯特曲线的长度是 $2^n$ $-2^{-n}$ 。  首6步（静态） ## 希尔伯特矩阵 在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是单位分数的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵 $\mathrm{H}$ 的第 $\mathrm{i}$ 横行第 $\mathrm{j}$ 纵列的系数是: $$ H_{i j}=\frac{1}{i+j-1} . $$ 举例来说， $5 \times 5$ 的希尔伯特矩阵就是: $$ H_5=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{array}\right] . $$ 希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下积分: $$ H_{i j}=\int_0^1 x^{i+j-2} d x, $$ 也就是当向量是关于变量 $x$ 的各阶幕时关于积分范数 $\mathbb{L}^1$ 的格拉姆矩阵。 希尔伯特矩阵是低条件矩阵的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说，当范数为 $l^2$ 矩阵范数时希尔伯特矩阵的条件数大约 是 $4.8 \times 10^5$ ，远大于 1 。 希尔伯特矩阵的行列式可以被表达为闭形式，算是柯西行列式的一种 ## 希尔伯特零点定理 希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）确立了几何和代数之间的基本关系。数学中一大重要分支——代数几何——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了代数集与（代数闭域上的）多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理（如希尔伯特基定理）。 **定理陈述 ** 设 $k$ 为域 (如有理数域)， $K$ 为 $k$ 的代数封闭扩张 (如复数域) 。考虑多项式环 $k\left[X_1, X_2, \ldots, X_n\right]$ ，设 $/$ 为此环的一个理想。该理想定义了代数集 $\mathrm{V}(/$ ) : 其元素为 $K^n$ 中的 $n$-元组 $\mathbf{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ ，使得对于/中所有的 $f$ 满足 $f(\mathbf{x})=0$ 。希尔伯特零点定理声明: 如果 $p$ 为 $k\left[X_1, X_2, \cdots, X_n\right]$ 中的多项式，并 且在 $\mathrm{V}(/)$ 恒为零，即对于所有 $\mathrm{V}(/)$ 中的 $\mathbf{x}$ 有 $p(\mathbf{x})=0$ ，那么存在一个自然数 $r$ 使得 $p^r$ 属于 $/$ 。 零点定理的一个直接推论是 “弱零点定理” : $k\left[X_1, X_2, \ldots, X_n\right]$ 的理想/包含单位元 1 当且仅当/中的多项式在 $K^n$ 中没有公共零点。弱零点定理也可 如下表述：如果 $/$ 是 $k\left[X_1, X_2, \ldots, X_n\right]$ 的真理想，那么 $\mathrm{V}(/)$ 不是空集，即在 $k$ 的任意代数封闭扩张中都存在一个满足理想中所有多项式的公共零点。 这就是零点定理名称的由来，同时零点定理也可以通过拉比诺维奇技法从“弱”版轻松证得。在这里，考虑公共零点时代数闭域的假设是必要 的：例如， $\mathbf{R}[X]$ 中的真理想 $\left(X^2+1\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 中就没有公共零点。用代数几何中常用的记法，零点定理可以写作 $$ \mathrm{I}(\mathrm{V}(J))=\sqrt{J} $$ 中 对于所有理想 $J$ 成立。这里， $\sqrt{J}$ 代表 $J$ 的根，而 $(U)$ 代表由在集合 $U$ 上恒为零的所有多项式组成的理想。 这样，我们得到了一个在 $K^n$ 中的代数集与 $K\left[X_1, X_2, \ldots, X_n\right]$ 中根理想之间的反序一一映射。实际上，更一般地，我们有在空间的子集的集合与代数的 子集的集合之间的伽罗瓦连接，其中 “扎里斯基闭包”与 “理想的根”充当闭包算子的角色。 作为例子，考虑一点 $P=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in K^n$ 。那么 $I(P)=\left(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n\right)$ 。更一般地， $$ \sqrt{I}=\bigcap_{\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in V(I)}\left(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n\right) . $$ 相反地，多项式环 $K\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ 中每个极大理想 (注意 $K$ 是代数封闭的) 都具有如下形式: $\left(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n\right)$ ，对于某些 $a_1, \ldots, a_n \in K$ 。 再如， $K^n$ 中的代数集 $W$ 是不可约集 (关于扎里斯基拓扑) 当且仅当 $I(W)$ 为素理想。 ## 希尔伯特-施密特算子 在数学中，一个希尔伯特-施密特算子(英语: Hilbert-Schmidt operator) (得名于大卫.希尔伯特和埃哈德·施密特)，是希尔伯特空间 $H$ 上的有界 算子 $A$ ，有有限的希尔伯特-施密特范数 $$ \|A\|_{H S}^2=\operatorname{Tr}\left(A^* A\right):=\sum_{i \in I}\left\|A e_i\right\|^2 ， $$ 其中 \|\| 是 $H$ 上的范数，\{ $\left.e_i: i \in I\right\}$ 是 $H$ 上的一组标准正交基， $T$ 是非负自伴算子的迹。[1][2]这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的 选择，所以有 $$ \|A\|_{H S}^2=\sum_{i, j}\left|A_{i, j}\right|^2=\|A\|_2^2, $$ 其中 $A_{i, j}=\left\langle e_i, A e_j\right\rangle,\|A\|_2$ 为 $A$ 在 $p=2$ 时的Schatten范数。在欧几里得空间中， \|\|$_{H S}$ 也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德格奥尔 格·弗罗贝尼乌斯。 两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果 $A$ 和 $B$ 是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义 $$ \langle A, B\rangle_{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}\left(A^* B\right)=\sum_i\left\langle A e_i, B e_i\right\rangle $$ 希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数的双边理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到希尔伯特空间 的张量积 $$ H^* \otimes H, $$ 其中 $H^*$ 是H的对偶空间。 ## 希尔伯特模形式 对于 $m$ 次全实域 $K 、 \mathcal{O}$ 为其中的代数整数环、 $\sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \rightarrow \mathbb{R}$ 为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射 $$ \mathrm{GL}(2, F) \rightarrow \mathrm{GL}(2, \mathbb{R})^m, \quad g \mapsto\left(\sigma_1(g), \ldots, \sigma_m(g)\right) $$ 设 $\mathcal{H}=\mathrm{GL}(2, \mathbb{R}) / \mathrm{SO}(2, \mathbb{R})$ 为上半平面，透过上述嵌入， $\mathrm{GL}^{+}(2, \mathcal{O})$ (指 $\mathrm{GL}(2, \mathcal{O})$ 中行列式为正的元素) 作用于 $\mathcal{H}^m$ 上。 对 $g=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in G L(2, \mathbb{R})$ ，定义自守因子之值为 $$ j(g, z)=(\operatorname{det} g)^{-\frac{1}{2}}(c z+d) $$ 权为 $\left(k_1, \cdots, k_m\right)$ 之希尔伯特模形式是指 $\mathcal{H}^m$ 上满足下述函数方程的全纯函数 $$ \forall \gamma \in \mathrm{GL}^{+}(2, \mathcal{O}), f(\gamma z)=\prod_{i=1}^m j\left(\sigma_i(\gamma), z_i\right)^{k_i} f(z) . $$ 此定义与模形式的差异在于：当 $K \neq \mathbb{Q}$ 时，不需要另加增长条件，这是 Koecher 定理的一个推论。 ## 希尔伯特的23个问题 希尔伯特问题（德语：Hilbertsche Probleme）是德国数学家大卫·希尔伯特于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。 希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。 第1题 连续统假设 第2题 算术公理之相容性 第3题 两四面体有相同体积之证明法 第4题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 第5题 所有连续群是否皆为可微群 第6题 公理化物理 第7题 若b是无理数、a是除0、1之外的代数数，那么a^b是否超越数 第8题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 第9题 任意代数数域的一般互反律 第10题 不定方程可解性 第11题 代数系数之二次形式 第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 第13题 以二元函数解任意七次方程 第14题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 第15题 舒伯特演算之严格基础 第16题 代数曲线及表面之拓扑结构 第17题 把有理函数写成平方和分式 第18题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 第19题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析 第20题 所有边值问题是否都有解 第21题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 第22题 将解析关系（analytic relations）以自守函数一致化 第23题 变分法的长远发展
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