函数的奇偶性

日期: 2023-10-10 08:03 查看: 34 次更新导出Word

函数的奇偶性是反映的是函数图形关于原点的一种对称特性。 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴对称。

**提示** 利用对称性，在求解函数和的化简方面，能极大简化运算量。

**警告** 判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称。一个函数不论是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称。

## 函数奇偶性的定义

①一般地，如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$ ，都有 $f(-x)=f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫偶函数。

$y=x^2$ 是最简单偶函数。
![图片](/uploads/2023-08/88272c.svg)

②一般地，如果对于函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的定义域内任意一个 $\mathrm{x}$ ，都有 $\mathrm{f}(\mathrm{-} \mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ，那么函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 就叫奇函数。

$y=x$ 是最简单奇函数。
![图片](/uploads/2023-08/07d982.svg)

## 初等函数的奇偶性

① $f(x)=\sin x$ 是奇函数;
②$f(x)=\cos x$ 是偶函数;
③$f(x)=\tan x$ 是奇函 数;
④$f(x)=x, x^3, x^5,  x^{-1}, x^{-3} ... x^{\mathrm{n}}$  ( $\mathrm{n}$ 为奇数) 是奇函数;
⑤$f(x)=1, x^2,x^4,x^{-2},x^{-4} ...  x^{\mathrm{n}}$ ( $\mathrm{n}$ 为偶数) 是偶函数;

利用定义，可以在基础函数上推出
①$f(x)=a^x-a^{-x}$ 是奇函数;
② $f(x)=a^x+a^{-x}$ 是偶函数;
③$f(x)=\log _a \frac{b+c x}{b-c x}$ 是奇函数；
④$f(x)=\log _a\left(\sqrt{\mathrm{b}^2 x^2+1} \pm \mathrm{bx}\right)$ 是奇函数;
⑤$f(x)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+1}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-1}$ 是奇函数

## 奇偶函数的一些性质

①函数定义域关于原点(或 $\mathrm{y}$ 轴)对称；
② 函数图像关于原点对称；
③如果定义域内 $x=0$ 有意义，一定有 $f(0)=0$ ；
④函数在对称区间的单调性一致；
⑤在对称点的极值(或最值)是相反
⑥奇+奇=奇； 偶+偶=偶； 奇·奇=偶； 偶•偶=偶； 奇•偶=奇

对于奇偶性的这些性质，请参考上面图像的进行理解记忆。

**例1**：设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

解: 因为 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(x+1)+2}{1+x}=-1+\frac{2}{x+1}$,
所以函数 $f(x)$ 的对称中心为 $(-1,-1)$,
所以将函数 $f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位,
得到函数 $y=f(x-1)+1$, 该函数的对称中心为 $(0,0)$,
故函数 $y=f(x-1)+1$ 为奇函数.
故选: $B$.

如果直接判断 $f(x)=f(-x)$ 或 $f(x)=-f(-x)$ 比较复杂时，可用判断 $\frac{f(x)}{f(-x)}=1$ 或 $\frac{f(x)}{f(-x)}=-1$ 来判断，即求商判定法，即：
偶•偶=偶； 奇•偶=奇， 偶÷偶=偶； 奇÷偶=奇

**例2**  判断函数 $f(x)=\frac{2}{2^x-1}+1$ 的奇偶性

解： $\frac{f(x)}{f(-x)}=\frac{\frac{2}{2^x-1}+1}{=\frac{2}{2^{-x}-1}+1}=\frac{\frac{1+2^x}{1-2^x}}{\frac{1-2^x}{1+2^x}}=1$
所以，$f(x)=f(-x)$，因此为偶函数。

**例3** 下列函数中为偶函数的是
A. $y=x^2 \sin x$
B. $y=x^2 \cos x$
C. $y=|\ln x|$
D. $y=2^{-x}$

$\mathrm{A}$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\sin x$ 是奇函数, 根据奇 $\cdot$ 偶 $=$ 奇, 得到函数是奇函数
$B$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\cos x$ 是偶函数, 根据奇•奇 = 偶, 得到函数是偶函数
$C$ 的定义域不关于原点对称。

$D$  $f(x)=2^{-x}$  ，$f(-x)=2^x$,   $-f(x)=-2^{-x}$  彼此不等。
所以选择B

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