留数

日期: 2023-10-10 09:21 查看: 14 次更新导出Word

在复变函数中，留数理论是应用最广泛的复分析理论，它的基础是Cauchy 积分公式。

设函数 $f(z)$ 在有限复平面的某区域 $D$ 上有孤立奇点 $z_0$ ，而在 $z_0$ 的某一邻域中解析，在该邻域中作一简单闭曲线 $C$ ，称

$$
\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z):=\oint_C f(z) \mathrm{d} z
$$

为函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数 (residue)。
当且仅当 $z_0$ 是可去奇点时，留数 $\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)=0$.

## 留数的计算

假设同上，使用函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的洛朗展式求留数 $\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)$ 是通用方法，注意到洛朗系数

$$
\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C f(z) \mathrm{d} z=c_{-1}=\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z) .
$$

因此我们可以将函数在 $z_0$ 处作展开并关注 $\frac{1}{z-z_0}$ 前的系数即可计算出留数。
对于极点，尤其是阶数比较小的极点，我们还有如下一系列方法可用:
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，那么留数 $\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)$ 有如下计算方法

$$
\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)=\frac{1}{(n-1) !} \lim _{z \rightarrow z_0}\left[\left(z-z_0\right)^n f(z)\right]^{(n-1)}
$$

特别地，一阶极点的留数

$$
\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)=\lim _{z \rightarrow z_0}\left[\left(z-z_0\right) f(z)\right]
$$

二阶极点的留数

$$
\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)=\lim _{z \rightarrow z_0}\left[\left(z-z_0\right)^2 f(z)\right]^{\prime}
$$

此外，如果 $z_0$ 为 $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ 的一阶极点，那么

$$
\operatorname{Res}_{z=z_0} f(z)=\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{g(a)}{h^{\prime}(a)} .
$$

## Cauchy 留数定理 。

设函数 $f(z)$ 在除去有限个奇点 $z_1, z_2, \cdots, z_n$ 的某单或复连通区域 $D$ 内解析，边界 $C=\partial D$ 上连续，则

$$
\int_C f(z) \mathrm{d} z=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}_{z=z_k} f(z) .
$$

特别地，没有奇点时上述定理就是 Cauchy 积分定理，有单奇点时就是 Cauchy 积分公式。上式告诉我们计算某
（复）周线上的积分，归结于计算该周线内部包围的奇点的留数。因此，我们一旦把握 $f(z)$ 的解析区域中各奇点的留 数，就可以计算解析区域中任意路径的积分了。

## 无穷远点的留数

设有在扩充复平面 $\mathbb{C}_{\infty}$ 或其无界区域上的函数 $f(z)$ ，且无穷远点 $\infty$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，那么可以定义 $f(z)$ 在无穷 远点的留数

$$
\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)=\oint_{C^{-}} f(z) \mathrm{d} z .
$$

其中，简单闭曲线 $C$ 定义在无穷的邻域 $C:\{z|K: R<| z \mid<+\infty\}$ （ $R$ 充分大以使区域 $K$ 中再无 $f(z)$ 的其它奇 点) 内， $C^{-}$的方向是顺时针方向，这是闭曲线围成的包含无穷远点在内的区域的正向。
对于无穷留数，它的计算可以通过洛朗系数

$$
\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)=-c_{-1} .
$$

也可以做变量替换 $w=\frac{1}{z}$ ，这样就化为了新函数 $g(w)=\frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right)$ 在 $w=0$ 处的留数计算问题。 可以证明，若设 $f(z)$ 在扩充复平面 $\mathbb{C}_{\infty}$ 上有有限个孤立奇点 $z_1, z_2, \cdots, z_n$ 以及无穷奇点 $\infty$ ，那么 $\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)+\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}_{z=z_k} f(z)=0$. 这也就是说，无穷处的留数的相反数就是所有有限孤立奇点的留数之和。
有时候计算某个周线所围成的区域的内部有较多的孤立奇点，而该区域的外部只有无穷奇点或较少的有限孤立奇点， 则可以使用计算无穷留数的策略。

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