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解析几何(圆锥曲线)
椭圆
椭圆焦点三角形面积
日期:
2023-11-03 22:15
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椭圆焦点三角形面积
**椭圆焦点三角形面积** 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$, 点 $\mathrm{P}$ 为椭圆上任意一点, $\angle \mathrm{F}_1 \mathrm{PF}_2=\theta$, 则椭圆的焦点三角形的面积为 $\mathrm{S} _{\triangle \mathrm{F}_1 \mathrm{PF}_2}=\mathrm{b}^2 \tan \frac{\theta}{2}$.  证明: 设 $\left|P F_1\right|=r_1,\left|P F_2\right|=r_2$, 则 $S=\frac{1}{2} r_1 r_2 \sin \theta$. 又 $\left|F_1 F_2\right|=2 c$,由余弦定理有 $(2 \mathrm{c})^2=r_1{ }^2+r_2{ }^2-2 r_1 r_2 \cos \theta=\left(r_1+r_2\right)^2-2 r_1 r_2-2 r_1 r_2 \cos \theta$ $=(2 a)^2-2 r_1 r_2(1+\cos \theta)$, 于是 $2 r_1 r_2(1+\cos \theta)=4 a^2-4 c^2=4 b^2$. 所以 $r_1 r_2=\frac{2 b^2}{1+\cos \theta}$. 即 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 b^2}{1+\cos \theta} \cdot \sin \theta=b^2 \cdot \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}=$ 整理可得： $\mathrm{S} _{\triangle \mathrm{F}_1 \mathrm{PF}_2}=\mathrm{b}^2 \tan \frac{\theta}{2}$.
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