复数的三角函数运算

日期: 2023-11-05 21:31 查看: 9 次更新导出Word

设 $z_1=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right), z_2=r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)$, 试求出 $z_1 z_2$.

对于上述尝试与发现中的两个复数来说, 显然有

$$
\begin{aligned}
z_1 z_2 & =r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right) \\
& =r_1 r_2\left[\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+\mathrm{i}\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right)\right] \\
& =r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right],
\end{aligned}
$$

即

$$
r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)= \\ 
r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] .
$$

这就是说, 由两个复数 $z_1, z_2$ 的三角形式可以便捷地得到 $z_1 z_2$ 的三角形式: $z_1$ 的模乘以 $z_2$ 的模等于 $z_1 z_2$ 的模, $z_1$ 的辐角与 $z_2$ 的辐角之和是 $z_1 z_2$的辐角. 由此还能得到两个复数相乘的几何意义:设 $z_1, z_2$ 对应的向量分别为 $\overrightarrow{O Z_1}, \overrightarrow{O Z_2}$, 将 $\overrightarrow{O Z_1}$ 绕原点旋转 $\theta_2$, 再将 $\overrightarrow{O Z_1}$ 的模变为原来的 $r_2$ 倍, 如果所得向量为 $\overrightarrow{O Z}$, 则 $\overrightarrow{O Z}$ 对应的复数即为 $z_1 z_2$,

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105178fd55.png)

一般的有

$$
[r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)]^n=r^n[\cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)] .
$$

一般地, 如果非零复数 $z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)$, 那么 $-\theta$ 是 $\bar{z}$ 的一个辐角,因此 $\bar{z}=r[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)]$, 而且

$$
\begin{aligned}
z \bar{z} & =r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \times r[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)] \\
& =r^2[\cos (\theta-\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta-\theta)]=r^2,
\end{aligned}
$$

所以 $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{r^2}$, 即

$$
\frac{1}{r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)}=\frac{1}{r}[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)] .
$$

这样一来, 如果 $z_1=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right), z_2=r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)\left(z_2 \neq\right.$ $0)$, 则

$$
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} & =z_1 \times \frac{1}{z_2}=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times \frac{1}{r_2}\left[\cos \left(-\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\theta_2\right)\right] \\
& =\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right],
\end{aligned}
$$

即

$$
\frac{r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right] .
$$

由此可知, 由两个复数 $z_1, z_2\left(z_2 \neq 0\right)$ 的三角形式可以迅速地得到 $\frac{z_1}{z_2}$的三角形式: $z_1$ 的模除以 $z_2$ 的模等于 $\frac{z_1}{z_2}$ 的模, $z_1$ 的辐角减去 $z_2$ 的辐角是 $\frac{z_1}{z_2}$的辐角. 类似地, 由此还能得到两个复数相除的几何意义. 例如, 任意一个复数除以 $\mathrm{i}$, 从向量的角度来说, 就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$.

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