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初等数论（高中版）
带余除法
最后更新:
2023-11-09 18:28
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带余除法
我们知道, $14 \div 3$ 的商为 4 , 余数为 2 , 即 $14=$ $3 \times 4+2$, 这种表示法在整数集中仍然成立, 我们把它叫做带余除法 (或欧氏除法算式). 一般地, 设 $a, b$ 为整数, 且 $b \neq 0$, 则存在惟一的一对整数 $q$ 和 $r$, 使得 $$ a=b q+r, 0 \leqslant r<|b| \text {. } $$ 事实上, 对任意整数 $a$ 和非零整数 $b$, 如果 $a$ 是 $b$的倍数, 那么存在整数 $q$, 使得 $a=b q$, 此时 $r=0$.如果 $a$ 不是 $b$ 的倍数, 如图 1-1 所示 ( $b>0$ 的情形),由于 $b$ 的倍数在数轴上是等距分布的, 而且相邻两个倍数之间的距离为 $|b|$, 而 $a$ 是数轴上的一点, 那么它一定落在 $b$ 的两个相邻倍数之间. 此时, 将紧邻 $a$ 的左侧 $b$ 的倍数记作 $b q$, 选取 $r$ 为 $a$ 与 $b q$ 的距离,此时 $a=b q+r$ (从数轴上可以直观地看出). 这就说明了满足上述等式的整数 $q$ 和 $r$ 是存在的.  例 22004 除以某个整数, 其商为 74 , 求除数和余数. 解: 设除数为 $b$, 余数为 $r$, 则 $$ 2004=74 b+r, \quad 0 \leqslant r<b . $$ 由此可得 $$ 74 b \leqslant 2004<74 b+b=75 b, $$ 从而有 $$ 74 \leqslant \frac{2004}{b}<75, $$ 所以 $$ \frac{2004}{75}<b \leqslant \frac{2004}{74}, $$ 即 $$ 26 \frac{18}{25}<b \leqslant 27 \frac{3}{37} . $$ 因此, $b=27, r=2004-27 \times 74=6$.
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