剩余类及其运算

日期: 2023-11-09 18:40 查看: 7 次更新导出Word

**剩余类及其运算**
我们知道, 一个整数被正整数 $n$ 除后, 余数有 $n$ 种情形: $0,1,2,3, \cdots, n-1$, 它们彼此模 $n$ 不同余. 这表明, 每个整数恰与这 $n$ 个整数中某一个模 $n$ 同余.
这样一来, 按模 $n$ 是否同余对整数集进行分类, 我们可以将整数集分成 $n$ 个两两不相交的子集. 例如, 按模 6 是否同余可将整数集分成下面六个子集:

$$
\begin{aligned}
& \{\cdots,-12,-6,0,6,12, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-11,-5,1,7,13, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-10,-4,2,8,14, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-9,-3,3,9,15, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-8,-2,4,10,16, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-7,-1,5,11,17, \cdots\},
\end{aligned}
$$

它们分别是由与 $0,1,2,3,4,5$ 模 6 同余的整数构成的集合.
我们把所有与整数 $a$ 模 $n$ 同余的整数构成的集合叫做模 $n$ 的一个剩余类, 记作 $[a] \mathbf{e}$,并把 $a$ 叫做剩余类 $[a]$ 的一个代表元.

例如, 模 6 的不同剩余类有 6 个, 它们分别为 $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$; 模 2 的剩余类有 2 个: $[0],[1]$, 它们分别代表偶数集和奇数集.

需要指出的是, 对模 $n$ 的每个剩余类, 我们可以用不同的代表元表示. 如在模 6 的剩余类中, $[5]=[-1]=[11]$.
一般地, 我们有

$$
a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow[a]=[b] .
$$

事实上, 对任意 $c \in[a]$, 我们有 $a \equiv c(\bmod n)$. 若 $a \equiv b(\bmod n)$, 则 $c \equiv b(\bmod n)$, 从而 $c \in[b]$. 同理可证, 对任意 $c \in[b]$, 则 $c \in[a]$. 因此 $[a]=[b]$.
反过来的正确性是显而易见的.
我们发现, 每个模 $n$ 的剩余类可以看作一个特殊的 “数”, 如同整数. 我们可以在这 $n$个 “数” 构成的集合中引人两种运算, 一种叫剩余类加法 (仍用 “+” 表示), 另一种叫剩余类乘法 (仍用 “.”表示, 但通常省略不写):
剩余类加法: $[a]+[b]=[a+b]$,
剩余类乘法: $[a][b]=[a b]$.
如果模 $n$ 的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法运算, 就把它叫做模 $n$ 的剩余类环, 并记作

$$
\{[0],[1], \cdots,[n-1] ;+, \cdot\} \text {. }

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