方差

日期: 2023-10-28 08:57 查看: 29 次更新导出Word

设有 $n$ 个数据 $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ ， 各数据与它们的平均数 的差的 平方分别是 $\left(x_1-x\right)^2,\left(x_2-x\right)^2$, $\ldots,\left(x_n-x\right)^2$, 我们用它们的平均 数, 即用

$$
s^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-n \bar{x}^2\right]
$$

**方差的变形**

根据方法的定义：

$s^2=\frac{1}{n}\left(x_1{ }^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$.

可以推导出方法的另外一个变形公式：即

$$
\begin{aligned}
\because s^2 & =\frac{1}{n}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\bar{x}\right)^2\right] \\
\therefore s^2 & =\frac{1}{n}\left[x_1^2-2 x_1 \bar{x}+\bar{x}^2+x_2^2-2 x_2 \bar{x}+\bar{x}^2+\cdots+x_n^2-2 x_n \bar{x}+\bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) \bar{x}+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 n \cdot \frac{x_1+x_2+\cdots x_2}{n} \cdot \bar{x}+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 n \cdot \bar{x}^2+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-\bar{x}^2
\end{aligned}
$$

在有些情况下下，利用计算方差会更简单。

$$
s^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-\bar{x}^2
$$

**意义**
方差越大 数据的波动越 大, 反之也成 量这组数据的波动大小, 并把它叫做这组数据的方差, 记作 $s^2$

## 例题

**例1**：选用恰当的公式，求下列各数据的方差。
(1) $-2,1,4$
(2) $-1,1,2$
(3) $79,81,82$

分析: 由于 (1) 中各数据及它们的平均数为较小整数, 因此选用公式:
$S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\bar{x}\right)^2\right]$
求方差较简便；

(2) 中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数
此选用公式: $S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1{ }^2+x_2{ }^2+\cdots+x_n{ }^2\right)-\overline{n x^2}\right]$
求方差较简便；

(3) 中数据较大且接近 80 ，因此取 $a=80$ 运用公式:
$S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+\cdots+x_n^{\prime 2}\right)-n \overline{x^{\prime 2}}\right]$

求方差较简便

答案:
 (1) $S^2=6$ ；
(2) $S^2=1 \frac{5}{9}$;
(3)$S^2=1 \frac{5}{9}$

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