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日期: 2023-11-18 10:07 查看: 10 次更新导出Word

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映射 复变函数 $w=f(z)$ 在几何上被看作是把 $z$ 平面上的一个点集 $S$ 变到 $w$ 平面上的一个点集 $S^*$ 的映射(或者变换)。其中, 点集 $S^*$ 称为像, 点集 $S$ 称为原像。

- 函数、映射以及变换可视为同一个概念。
  （分析）（几何） (代数)

**反函数与逆映射**
设函数 $w=f(z)$ 的定义域为 $z$ 平面上的点集 $D$, 值域为 $\boldsymbol{w}$ 平面上的点集 $\boldsymbol{G}$, 则 $G$ 中的每个点 $\boldsymbol{w}$ 必将对应着 $\boldsymbol{D}$ 中的一个 (或几个) 点 $\boldsymbol{z}$, 按照函数的定义, 在 $\boldsymbol{G}$ 上就确定了一个函数 $z=\widetilde{f}(w)$, 它称为函数 $w=f(z)$ 的反函数, 也称为映射 $w=f(z)$ 的逆映射。

双方单值与一一映射
若映射 $w=f(z)$ 与它的逆映射 $z=\widetilde{f}(w)$ 都是单值的,则称映射 $w=f(z)$ 是双方单值的或者一一映射。

**例** 已知函数 $w=z^2$, 求下列点集的像。
(1) 点 $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$
(2) 区域 $D=\{z: \operatorname{Im} z>0, \operatorname{Re} z>0,|z|<1\}$.

解 (1) 点 $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$ 对应的像(点)为 $w=\frac{1}{2} i$.

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(2) 区域 $D$ 可改写为:

$$
D=\{z: 0<|z|<1,0<\arg z<\pi / 2\},
$$

令 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 则 $w=z^2=r^2 \mathrm{e}^{i 2 \theta}$,可得区域 $D$ 的像(区域) $G$ 满足

$$
0<|w|<1,0<\arg w<\pi,
$$

即 $G=\{w: \operatorname{Im} w>0,|w|<1\}$.
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例 函数 $w=z^2$ 对应于两个二元实变函数 $u=x^2-y^2, v=2 x y$,因此, 它把 $z$ 平面上的两族双曲线 $x^2-y^2=c_1, 2 x y=c_2$,分别映射成 $w$ 平面上的两族平行直线 $u=c_1, v=c_2$.
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