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复变函数论
第三篇 复变函数
连续
日期:
2023-11-18 10:14
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连续
定义 若 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right)$, 则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点连续。若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处连续, 则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。 注 (1) 连续的三个要素: $f\left(z_0\right)$ 存在; $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)$ 存在; 相等。 (2) 连续的等价表示: $$ \lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right) \Leftrightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \Delta w=0 \Leftrightarrow \lim _{|\Delta z| \rightarrow 0}|\Delta w|=0 . $$ 其中, $\Delta z=z-z_0, \Delta w=f\left(z+z_0\right)-f\left(z_0\right)$. 通常说: 当自变量充分靠近时,函数值充分靠近。 (3) 一旦知道函数连续, 反过来可以用来求函数的极限。 性质 (1) 在 $z_0$ 连续的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商 (分母在 $\boldsymbol{z}_0$ 不为零) 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处连续。 (2) 如果函数 $\xi=g(z)$ 在 $z_0$ 处连续, 函数 $w=f(\xi)$ 在 $\xi_0=g\left(z_0\right)$ 连续, 则函数 $w=f[g(\xi)]$ 在 $z_0$ 处连续。 (由基本初等函数的连续性可得初等函数的连续性) (3) 如果函数 $f(z)$ 在有界闭区域 $\bar{D}$ 上连续, 则 - $|f(z)|$ 在 $\bar{D}$ 上必有界; - $|f(z)|$ 在 $\bar{D}$ 上必能取到最大值与最小值; ○ $f(z)$ 在 $\bar{D}$ 上必一致连续。 **例** 讨论函数 $w=f(z)=|z|^2$ 的连续性。 解 $$ \begin{aligned} & w=|z|^2=z \cdot \bar{z}, \\ & \begin{aligned} |\Delta w| & =|(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-z \cdot \bar{z}| \\ & =|\Delta z \cdot \bar{z}+\overline{\Delta z} \cdot z+\Delta z \cdot \overline{\Delta z}| \\ & \leq 2|\Delta z| \cdot|z|+|\Delta z|^2 \rightarrow 0, \text { (当 } \Delta z \rightarrow 0 \text { 时) } \end{aligned} \end{aligned} $$ 故函数 $w=f(z)=|z|^2$ 处处连续。 定理:函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在 $z_0=x_0+i y_0$ 点连续的充要条件是 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点连续。 证明:(略) 例如 函数 $f(z)=\ln \left(x^2+y^2\right)+i\left(x^2-y^2\right)$ 在复平面内除原点外是处处连续的。 因为 $u(x, y)=\ln \left(x^2+y^2\right)$ 除原点外是处处连续的,而 $v(x, y)=x^2-y^2$ 是处处连续的。
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