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复变函数论 Complex Analysis
第五篇 复变函数的积分
最大模原理
最大模原理
日期:
2023-11-18 11:14
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 推论 1 在区域 $\boldsymbol{D}$ 内解析的函数, 如果其模在 $\boldsymbol{D}$ 内达到最大值,则此函数必恒为常数。 推论 2 若 $f(z)$ 在有界区域 $D$ 内解析, 在 $\bar{D}$ 上连续, 则 $|f(z)|$在 $\boldsymbol{D}$ 的边界上必能达到最大值。 例 设函数 $f(z)$ 在全平面解析, 又 $\forall r>0, M(r)=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|$.证明 $M(r)$ 是 $r$ 的单调上升函数。 证 由最大模原理及其推论可知, $|f(z)|$ 在 $|z| \leq \boldsymbol{r}$ 上的最大值必在 $|z|=r$ 上取得, 即 $$ M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|=\max _{|z| \leq r}|f(z)| . $$ 因此, 当 $r_1<r_2$ 时, 有 $$ M\left(r_1\right)=\max _{|z| \leq r_1}|f(z)| \leq \max _{|z| \leq r_2}|f(z)|=M\left(r_2\right) . $$ 即 $M(r)$ 是 $r$ 的单调上升函数。
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