复数项级数

日期: 2023-11-18 11:24 查看: 12 次更新导出Word

1. 基本概念

定义 设 $\left\{z_n\right\}_{n=1,2, \cdots}$ 为一复数序列，
(1) 称 $\sum_{n=1}^{+\infty} z_n=z_1+z_2+\cdots$ 为复数项级数, 简记为 $\sum z_n$.
(2) 称 $s_n=\sum_{k=1}^n z_k=z_1+z_2+\cdots+z_n$ 为级数的部分和;
(3) 如果序列 $\left\{s_n\right\}$ 收玫, 即 $\lim _{n \rightarrow+\infty} s_n=s$, 则称级数收玫,且极限值 $s$ 称为级数的和;
(4) 如果序列 $\left\{s_n\right\}$ 不收玫, 则称级数发散。

**2. 复数项级数收玫的充要条件**

定理 设 $z_n=x_n+i y_n$, 则级数 $\sum z_n$ 收玫的充要条件是级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛。
证明：略

例 设 $z_n=\frac{1}{n}+\frac{i}{2^n}$, 讨论级数 $\sum z_n$ 的收玫性。
解 级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ 收玫, 几何级数: $\sum_{n=1}^{+\infty} a^n$, 当 $0<a<1$ 时收敛。级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ 发散, $p$ 级数: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}$, 当 $p \leq 1$ 时发散。因此级数 $\sum z_n$ 发散。

例 设 $z_n=\frac{1}{n^2} i^n$, 讨论级数 $\sum z_n$ 的收玫性。
解 $z_n=\frac{1}{n^2} i^n=\frac{1}{n^2} \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2} n}$

$$
=\frac{1}{n^2} \cos \frac{\pi n}{2}+i \frac{1}{n^2} \sin \frac{\pi n}{2} \stackrel{\text { 记为 }}{=} x_n+i y_n,
$$

由于级数 $\sum\left|x_n\right|$ 和 $\sum\left|y_n\right|$ 均为收玫, (绝对收敛)
故有级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 均收玫, 即得级数 $\sum z_n$ 收玫。

- 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢?

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