幂级数的性质

日期: 2023-11-18 11:34 查看: 9 次更新导出Word

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例 把函数 $\frac{1}{(1-z)^2}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ 的幂级数。
解 方法一 利用乘法运算性质

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(1-z)^2} & =\frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-z}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)\left(1+z+z^2+\cdots\right) \\
& =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1
\end{aligned}
$$

方法二 利用逐项求导性质

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(1-z)^2} & =\left(\frac{1}{1-z}\right)^{\prime}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)^{\prime} \\
& =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1
\end{aligned}
$$

例 把函数 $\frac{1}{z-b}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-a)^n$ 的幂级数,其中 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 是不相等的复常数。

解

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{z-b} & =\frac{1}{(z-a)-(b-a)}=-\frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-a}{b-a}} \\
& =-\frac{1}{b-a}-\frac{(z-a)}{(b-a)^2}-\frac{(z-a)^2}{(b-a)^3}-\cdots-\frac{(z-a)^n}{(b-a)^{n+1}}-\cdots,
\end{aligned}
$$

其收玫半径为 $\boldsymbol{R}=|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$, 收玫圆为 $|z-a|<|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$.

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