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复变函数论
第六篇 幂级数
幂级数的性质
日期:
2023-11-18 11:34
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幂级数的性质
   例 把函数 $\frac{1}{(1-z)^2}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ 的幂级数。 解 方法一 利用乘法运算性质 $$ \begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^2} & =\frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-z}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)\left(1+z+z^2+\cdots\right) \\ & =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1 \end{aligned} $$ 方法二 利用逐项求导性质 $$ \begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^2} & =\left(\frac{1}{1-z}\right)^{\prime}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)^{\prime} \\ & =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1 \end{aligned} $$ 例 把函数 $\frac{1}{z-b}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-a)^n$ 的幂级数,其中 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 是不相等的复常数。 解 $$ \begin{aligned} \frac{1}{z-b} & =\frac{1}{(z-a)-(b-a)}=-\frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-a}{b-a}} \\ & =-\frac{1}{b-a}-\frac{(z-a)}{(b-a)^2}-\frac{(z-a)^2}{(b-a)^3}-\cdots-\frac{(z-a)^n}{(b-a)^{n+1}}-\cdots, \end{aligned} $$ 其收玫半径为 $\boldsymbol{R}=|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$, 收玫圆为 $|z-a|<|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$.
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