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复变函数论
第六篇 幂级数
洛朗级数
日期:
2023-11-18 11:44
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洛朗级数
一、含有负幂次项的 “幂级数” 1. 问题分析 引例 根据前面的讨论已知, 函数 $\frac{1}{1-z}$ 在 $z=0$ 点的幂级数展开式为 $\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots,(|z|<1)$. - 事实上, 该函数在整个复平面上仅有 $\boldsymbol{z}=\mathbf{1}$ 一个奇点,但正是这样一个奇点, 使得函数只能在 $|z|<1$ 内展开为 $z$ 的幂级数, 而在 $|z|>1$ 如此广大的解析区域内不能展开为 $z$ 的幂级数。 -有没有其它办法呢? 1. 问题分析设想 由 $|z|>1$, 有 $\frac{1}{|z|}<1$, 从而可得 $$ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^3}-\cdots $$ ○这样一来, 在整个复平面上就有 $$ \begin{aligned} & \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots,(|z|<1) \\ & \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^3}-\cdots,(|z|>1) . \end{aligned} $$ 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话,即如果引入负幂次项, 那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 -下面将讨论下列形式的级数: $$ \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n=\cdots & +a_{-2}\left(z-z_0\right)^{-2}+a_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1} \\ & +a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2+\cdots . \end{aligned} $$ ○在引入了负幂次项以后,“幂级数”的收敛特性如何呢? 2. **级数** $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$ 的收敛特性 分析 将其分为两部分:正幂次项部分与负幂次项部分。 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n=a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2+\cdots ; \\ & \sum_{n=-1}^{-\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n=a_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1}+a_{-2}\left(z-z_0\right)^{-2}+\cdots \end{aligned} $$ 根据上一节的讨论可知: (1) 对于 (A) 式, 其收玫域的形式为 $\left|z-z_0\right|<R_2$; (2) 对于 (B) 式, 其收玫域的形式为 $\left|z-z_0\right|>R_1$; 结论 (1) 如果级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$ 收敛, 则其收敛域 “一定” 为环域 $\boldsymbol{R}_1<\left|z-\boldsymbol{z}_0\right|<\boldsymbol{R}_2$. 特别地 (1) 如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项), 则其收敛域为: $0 \leq\left|z-z_0\right|<\boldsymbol{R}$ 或 $0<\left|z-z_0\right|<\boldsymbol{R}$. (2) 如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项), 则其收敛域为: $\boldsymbol{R}<\left|z-\boldsymbol{z}_0\right|<+\infty$. ○上述两类收敛域被看作是一种特殊的**环域**。 结论 (1) 如果级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$ 收玫,则其收敛域 “一定” 为环域 $\boldsymbol{R}_1<\left|z-\boldsymbol{z}_0\right|<\boldsymbol{R}_2$. (2) 级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$ 在收玫域内其和函数是解析的,而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 - 因此,下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118c086bf2.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118657cada.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111870be765.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_202311189dee4c7.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118573de65.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111855c342d.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_202311182e560a4.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_202311182390861.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_202311187d711bf.png)
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