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复变函数论
第十篇 拉普拉斯变换
求解常微分方程(组) 及在物理上的应用
日期:
2023-11-18 14:52
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求解常微分方程(组) 及在物理上的应用
     解 (1) $m x^{\prime \prime}(t)+k x(t)=f(t), x(0)=x^{\prime}(0)=0$. (2) 令 $X(s)=\mathscr{L}[x(t)], F(s)=\mathscr{L}[f(t)]$, 对方程组两边取 Laplace 变换, 并代入初值得 $$ m s^2 X(s)+k X(s)=F(s), $$ 记 $\omega_0^2=\frac{k}{m}$, 有 $X(s)=\frac{1}{m \omega_0} \cdot \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2} \cdot F(s)$, (3) 由 $\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\right]=\sin \omega_0 t$, 并利用卷积定理有 $$ x(t)=\mathscr{L}^{-1}[X(s)]=\frac{1}{m \omega_0} \cdot\left[\sin \omega_0 t * f(t)\right] . $$ 当 $f(t)$ 具体给出时, 即可以求的运动方程 $x(t)$.
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