日期: 2023-11-05 21:27 查看: 188 次编辑导出

复数的三角形式

如果非零复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ 在复平面内对应点 $Z(a, b)$, 且 $r$ 为向量 $\overrightarrow{O Z}$ 的模, $\theta$ 是以 $x$ 轴正半轴为始边、射线 $O Z$ 为终边的一个角, 则

$$
r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},
$$

根据任意角余弦、正弦的定义可知

$$
\cos \theta=\frac{a}{r}, \sin \theta=\frac{b}{r} .
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311056be756d.png)

因此 $a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$, 如图 10-3-2 所示, 从而

$$
z=a+b \mathrm{i}=(r \cos \theta)+(r \sin \theta) \mathrm{i}=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta),
$$

上式的右边称为非零复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的三角形式 (对应地, $a+b \mathrm{i}$ 称为复数的代数形式), 其中的 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角.

显然, 任何一个非零复数 $z$ 的辐角都有无穷多个, 而且任意两个辐角之间都相差 $2 \pi$ 的整数倍. 特别地, 在 $[0,2 \pi)$ 内的辐角称为 $z$ 的辐角主值, 记作 $\arg z$.
为了求出一个非零复数的三角形式, 只要求出这个复数的模, 然后再找
出复数的一个辐角 (比如辐角主值) 即可. 例如, 对于复数 $z=1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 来说, 因为

$$
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2, \cos \theta=\frac{1}{2}, \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2},
$$

所以可取 $\theta=\arg z=\frac{\pi}{3}$, 从而 $z=1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 的三角形式为

$$
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\operatorname{isin} \frac{\pi}{3}\right) .
$$

这也可以通过如下方式得到.

$$
\begin{aligned}
z & =1+\sqrt{3} \mathrm{i}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\left[\frac{1}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}} \mathrm{i}\right] \\
& =2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right) \\
& =2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\mathrm{i} \sin \frac{\pi}{3}\right) .
\end{aligned}
$$

因为

$$
0=0(\cos \theta+i \sin \theta),
$$

其中 $\theta$ 可以为任意值, 所以我们也称上式为复数 0 的三角形式. 这样一来,
任意复数都可以写成三角形式

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