日期: 2023-10-10 08:04 查看: 224 次编辑导出

函数

函数（function），从初中我们就学过，例如  $y=x$ 是一次函数， $y=x^2$ 是二次函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。

但是，如何定义函数却不是一件容易的事情。

目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统的，在一个变化过程中，$y$是$x$的函数，当$x$确定一个值，$y$就随之确定一个值这样就形成了函数。

而近世代数里，开始使用集合定义函数，给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示.

这两种定义本质上是一样的，事实上这个对应发展通常叫做“**映射**”。

函数概念含有三个要素：定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$，它是函数关系的本质特征。

**1.一对多不是函数**
参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，这不是函数。
如果用集合语句描述：A是实数集合，B为有理数。f：映射法则为平方根。这样当输入数字9时，就有$\pm3$ 与之对应，这不是数学意义上的函数的定义。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308213594655.png)

**2.偏函数不是函数**
参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值，有确定的$y$与其对应，显然x=1没有值与其对应。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219d07c5b.png)

**3.多对一是函数**
完全对应且多对一，这满足数学意义上的函数的定义，因此这是函数。我们可以写出其表达式为：

$$
f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219f2aeeb.png)

## 函数的来源

函数，英文名字叫做function，通用翻译是“功能”的意思，比如物理中，路程=速度*时间，写成物理函数是： $ s= v*t $, 当 v=10m/s , 写成数学函数为 $ y=10*x$ ，这样，当输入 $x=2$秒时, $y=20$米，意即：输入一个数字，输出一个结果，对用户来说，完成了一个“功能”。

而现代中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量$x$，则该式子叫做$x$的函数。”

所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组

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