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第二重要极限 (1+1/x)^x
日期:
2022-12-27 14:29
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现在我们利用单调有界收玫准则来讨论另一个重要极限: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. 先考虑 $x>0$ ,且 $x=n$ 时的情形. 设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ,利用二项式定理,则有 $$ \begin{aligned} & x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+\frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-n+1)}{n !} \cdot \frac{1}{n^n} \\ & =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \end{aligned} $$ 类似地, $$ \begin{aligned} & x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \\ & \quad+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right) \end{aligned} $$ 比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ ,则有 $x_n \leq x_{n+1}$ ,即 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加,又由 $$ x_n=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) $$ 得 $$ x_n \leq 1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3 $$ 即 $\left\{x_n\right\}$ 有上界,因此由单调有界定理知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在,不妨记 $$ \begin{gathered} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e} \\ \mathrm{e}=2.718281828459045 \ldots \end{gathered} $$ 设 $x$ 为实数,当 $x>0$ 时,则有 $n=[x] \leq x<[x]+1=n+1$ , 因此 $$ \begin{aligned} & \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} \\ & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n-1}}=\mathrm{e} \\ & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{n+\frac{n+1}{n}}=\mathrm{e} \end{aligned} $$ 并注意到 $x \rightarrow+\infty \Leftrightarrow n \rightarrow \infty$ ,则由夹逼准则得 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. 当 $x<0$ 时,令 $x=-(t+1)$ ,则当 $x \rightarrow-\infty$ 时, $t \rightarrow+\infty$ ,因此 $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x & =\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{t+1}\right)^{-t+1)}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+1} \\ & =\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{t+1}=\mathrm{e} \end{aligned} $$ 由 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ 及 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ ,则得 $\lim _{x \rightarrow=1}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ **证法2 $\lim\limits_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$** 证明 对 $ {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} $ 用牛顿二项式展开得 $$ \begin{gathered} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+x\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{x(x-1)}{2 !}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{x(x-1)(x-2)}{3 !}\left(\frac{1}{x}\right)^3+\cdots \\ \Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)}{2 !} \frac{1}{x^2}+\frac{x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)}{3 !} \frac{1}{x^3}+\cdots \\ \Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots \end{gathered} $$ 令 $x \to \infty $ $$ \begin{aligned} \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots\right] \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots \end{aligned} $$ 利用极限有 $$ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)\left(1-\frac{2}{\infty}\right)+\cdots $$ 又由于 $ \frac{1}{\infty } = 0$ $$ \begin{gathered} \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}(1-0)+\frac{1}{3 !}(1-0)(1-0)+\cdots \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 ! } +... (1) \end{gathered} $$ 因为我们知道 $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^4}{4 !}+... $$ 令 $x=1$,因此 $$ e=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots ...(2) $$ 比较(1)和(2) 可以得到 $$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e $$ 我们还可以得到第二重要极限的另一种形式. 利用代换 $u=\frac{1}{x}$ ,则当 $x \rightarrow \infty$ 时, $u \rightarrow 0$ ,于是有 $$ \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e} $$ 习惯上写作 $$ \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e} $$ 注 在求函数极限时,常用到形如 $f(x)^{g(x)}(f(x) \neq 1)$ 的函数 ( 通常称为幂指函 数 ) 的极限,我们有下面的计算公式. 性质 如果 $\lim f(x)=A>0, \lim g(x)=B$ ,那么 $\lim [f(x)]^{g(x)}=A^B$. 题 (1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 解 (1) 利用重要极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 求极限, 要注意函数指数中变量 $x$ 与底数中变 量 $x$ 是相同的,正负号也相同,且自变量 $x \rightarrow \infty$. 本题 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{-x}\right)^x$ ,底数中变量为 $-x$ ,指数中变量是 $x$ ,两者相差一个负 号,求解时,可按下述两种方法之一计算. (I) 做变换: 令 $x=-t$, 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $t \rightarrow \infty$, 于是 $$ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{e} \text { ; } $$ (II) 适当变形: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{(-x-x-1)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}$. 题 (2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ; 解 (2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}\right]^2=\mathrm{e}^2$ 题 (3) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}$; (3) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2$ $=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^3 \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2=\mathrm{e}^3 \cdot 1^2=\mathrm{e}^3$ 题 $(4) \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}$; (4) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{\frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}$ 题 (5) $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ ~解 (5) $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ 题 (6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}$. (6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{5}{3 x-1}\right)^{\frac{3 x-1}{5}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3 x-1}(x+\infty)}=\mathrm{e}^{\frac{5(x+1)}{3 x-1}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}\right.$
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2022-12-27 14:29
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