最后更新: 2025-04-14 19:05 查看: 468 次反馈刷题

函数

### 引言
函数（function），从初中我们就学过，例如  $y=x$ 是一次函数， $y=x^2$ 是二次函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。但是，如何定义函数却不是一件容易的事情。

目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统的，在一个变化过程中，$y$是$x$的函数，当$x$确定一个值，$y$就随之确定一个值这样就形成了函数。

而近世代数里，开始使用集合定义函数，给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示.

这两种定义本质上是一样的，事实上这个对应发展通常叫做映射。

## 函数的定义

设有数集 $A, B$, 如果有一对应关系或法则 $f$ 存在, 对于 $A$ 的任何一个数 $x$ ，有数集 $B$ 中唯一的一个数 $y$ 与之对应，我们就称给出了一个从数集 $A$ 到数集 $B$ 内的函数 $f$, 用

$$
f: A \mapsto B
$$

表示, 并写成 $y=f(x),(x \in A)$, 此时称 $f(x)$ 为函数 $f$ 在 $x$ 的函数值,并称 $A$ 为函数 $f$ 的**定义域**. 又当 $x$ 取遍 $A$ 中的数时, 函数值 $f(x)$ 全体也构成一个数集，称为函数 $f$ 的**值域**，记作

$$
f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}
$$

要注意的是在构造一个函数 $f: A \mapsto B$ 的时候, $f(A)$ 不一定等于 $B$, 而是 $B$ 的一个真子集, 即 $f(A) \subset B$.

函数概念含有三个要素：定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$，它是函数关系的本质特征。

**1.一对多不是函数**
参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，这不是函数。
如果用集合语句描述：A是实数集合，B为有理数。f：映射法则为平方根。这样当输入数字9时，就有$\pm3$ 与之对应，这不是数学意义上的函数的定义。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308213594655.png)

**2.偏函数不是函数**
参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值，有确定的$y$与其对应，显然x=1没有值与其对应。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219d07c5b.png)

**3.多对一是函数**
完全对应且多对一，这满足数学意义上的函数的定义，因此这是函数。我们可以写出其表达式为：

$$
f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219f2aeeb.png)

`例` 设 $R$ 是实数集, 求 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$ 求它的值域.
解: 方程 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}$ 等价于

$$
y x^2-2 x+y=0
$$

根据函数的值域定义，任给 $y \in f( R )$ ，方程必有实数解，而方程有实数解的充要条件是

$$
\Delta=1-y^2 \geq 0
$$

即: $-1 \leq y \leq 1$, 所以他的值域为$[-1,1]$

在函数的定义中包含三个要素, 即定义域, 值域和对应法则. 在实际问题中，函数的定义域是根据实际意义来确定的，例如温度计刻有华氏温标度数 $F$ 和摄氏温标度数 $c$, 因为不存在低于绝对零度的温度, 因此, 这两个度数之间的函数 $\varphi$ 是

$$
F=\varphi(c)=\frac{9}{5} c+32, \quad c \in(-273,+\infty)
$$

以后, 当我们只在数学上,一般地研究一个具体解析式子规定的函数关系时，如果定义域 $x$ 没有被指明，那么函数的定义域是使解析式子具有数值意义的所有实数域 。

## 实数区间的表示
为简便地表示定义域或值域所属的一段连续的实数区间，可以分别写出这段连续实数区间的最小值和最大值，并用逗号＂，＂隔开，再用相应的括号括起来。

包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**闭区间**，用方括号括起来，记作 $[a, b], a \leq x \leq b$ 也记作 $x \in[a, b]$ 。

不包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**开区间**，用圆括号括起来，记作 $(a, b), a<x<b$ 也记作 $x \in(a, b)$ 。

包含最小值 $a$ ，不包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**左闭右开区间**，左边用方括号，右边用圆括号，记作 $[a, b), a \leq x<b$ 也记作 $x \in[a, b)$ 。

不包含最小值 $a$ ，包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做左开右闭区间，左边用圆括号，右边用方括号，记作 $(a, b], a<x \leq b$ 也记作 $x \in(a, b]$ 。

左闭右开区间和左开右闭区间都叫做半开半闭区间。
区间两端的最小值 $a$ 和最大值 $b$ 都叫做区间的端点，无论它们是否包含在区间内。在数轴上作图时，包含在区间内的端点用实心小圆标记，不包含在区间内的端点用空心小圆标记。

`例` 将下列各集合用区间表示：
（1） $F =\{x \mid-1 \leq x \leq 1\}$ 可以表示为：$[-1,1]$ ；
（2） $G =\{x \mid-20<x<-18\}$ 可以表示为：$(-20,-18)$ ；
（3） $H =\{x \mid-1 \leq x<1\}$ 可以表示为：$[-1,1)$ ；
（4） $I =\{x \mid 0<x \leq 2\}$ 可以表示为：$(0,2]$ ；
（5） $J =\{x \mid x \leq-1\}$ 可以表示为：$(-\infty,-1]$ ；
（6） $K =\{x \mid x>5\}$ 可以表示为：$(5,+\infty)$ 。
集合 J 中，＂$-\infty$＂叫做负无穷大，＂$\infty$＂是横过来写的＂ 8 ＂。 $-\infty$ 表示绝对值无穷大的负数，在数轴负方向的无穷远处。 $-\infty$ 小于任何已经确定取值的实数，其绝对值 $|-\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。

集合 K 中，＂$+\infty$＂叫做正无穷大，表示绝对值无穷大的正数，在数轴正方向的无穷远处，$+\infty$ 及其绝对值 $|+\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。

正负无穷大是抽象出来的虚拟概念，在现实中无法真正达到，只能尽量近似，因此正负无穷大所在的一侧都是开区间，实数集 $R$ 也可以记作 $(-\infty,+\infty)$ ，通常不比较 $-\infty$ 与 $+\infty$ 的绝对值的大小。

上述实数区间在数轴上的表示如下图所示，注意开区间的端点画为空心圆圈，闭区间的端点画为实心圆点。
 ![图片](/uploads/2025-04/8a6c5a.jpg)

`例` 求下列函数定义域:
1. $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x}$
2. $g(x)=\sqrt{x^2-1}$

解:

1.函数 $f$有意义

$$
\left\{\begin{array}{l}
1-x \geq 0 \\
x \neq 0
\end{array} \quad \Rightarrow \quad x \leq 1, \quad x \neq 0\right.
$$

$\therefore \quad$ 函数 $f$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,1]$.

2.函数 $g$ 有意义 $\Leftrightarrow x^2-1 \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$, 或 $x \geq 1$
$\therefore$ 函数 $g$ 的定义域为 $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$.

## 相等的函数
有些函数可以用不同的方式来定义, 例如, 函数 $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$ ,若取任意一个实数a带入，可以发现 $|a|=\sqrt{a^2}$,它们的结果是相同的, 尽管函数 $f(x), g(x)$ 的表达式不同, 他们的值相同，我们称呼他们是相等的函数。

此外, 解析式子相同, 但定义域不同的函数是不相同的函数. 例如:

$$
\begin{array}{ll}
f_1(x)=\frac{1}{x}, & x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\
f_2(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,+\infty) \\
f_3(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,1)
\end{array}
$$

是不相同的函数, 因为对于 $x=-2, f_1$ 有意义而 $f_2, f_3$ 都无意义; 对于 $x=2$, $f_1$ 和 $f_2$ 都有意义而 $f_3$ 无意义.

下面给出相等（同）的两个函数的条件。
定义
两个函数 $f: A \mapsto B, g: C \mapsto D$ 称为相等的当且仅当 $A=C, B=D$,且对于每个 $a \in A$ (或 $C$ ), 有 $f(a)=g(a)$ 。

读者可能会不同意上面 $B=D$ 这个条件, 提出下面这个例子来反驳:
"由 $f(n)=g(n)=n$ 给出的两个函数 $f: N \mapsto N , g: N \mapsto Q$ 是相等的函数" 我们须指出两个函数不同的地方, 就函数值所在数集上看, $g$ 可以除以 2 ,因此，对于 $g$ 我们可以构造一个新函数， $\frac{1}{2} g: N \mapsto Q$ ，这里

$$
\left(\frac{1}{2} g\right)(n)=\frac{1}{2} n
$$

但是对于 $f$, 不能做这种构造.

在函数 $y=f(x) ， x \in A$ 中， $x$ 叫做**自变量**， $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域。当$x$取一个值时 $f(x)$的值为函数的值域。

## 下面给出在高中阶段常见函数定义域取值。

①一次函数 $y=k x+b$，二次函数 $y=a x^2+b x+c$ ，指数函数 $y=a^x$ 正弦函 数 $y=\sin x$ 和余弦函数 $y=\cos x$ 的定义域都为 $R$

② 分式函数 $y=\frac{1}{x}$ 的定义域为 $x \ne 0$

③对数函数 $y=\log _a x$ 的定义域为 $ x >0 $

④ 正切函数 $y=\tan x$ 的定义域为 $\left\{x \mid x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\right\}$

⑤ 幂函数 $y=x^{\frac{m}{n}}(m, n$ 互质且 $m, n \in Z)$

1. 当 $m \in Z ， n$ 为奇数且 $m n>0$ 时，定义域为 $R$; ；
2. 当 $m$ 为奇数 $n$ 为偶数且 $m n>0$ 时，定义域为 $[0,+\infty)$ ；
3. 当 $m \in Z^* ， n$ 为奇数且 $m n<0$ 时，定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ ；
4. 当 $m$ 是奇数， $n$ 为偶数且 $m n<0$ 时，定义域为 $(0,+\infty)$ ；

其实，分式函数可以认为幂函数的特殊情况。整个数学体系就是由这 ①~⑤  个函数千变万化而来。

`例`求函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\lg (3-x)$ 的定义域。
答案：$[1,3)$
这类题目比较简单，解答过程中细心即可，不再举例。

`例` 已知 $f\left(x^2-3\right)=\lg \frac{x^2}{x^2-6}$ ，求函数 $f(x)$ 的定义域。
错解: 先求得 $f(x)=l g \frac{x^2}{x^2-6}$ ，再求得定义域为 $(-\infty,-3) \cup(3,+\infty)$ ；
正解: 由真数大于 0 得 $x^2>6 ， \therefore x^2-3>3 ， \therefore y=f(x)$ 的定义域为 $(3,+\infty)$

**例3：** 已知函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围。
一定要讨论 $a=0$ 和 $a \neq 0$ 两种情况:
当 $a=0$ 时符合题意;
当 $a \neq 0$ 时，要使函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 的定义域为 $R$ ，则 $a>0$ 且 $\Delta=a^2-12 a \leq 0$ ，可得 $0<a \leq 12$ 。综上，实数 $a$ 的取值范围为 $[0,12]$.

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