第二重要极限 (1+1/x)^x

日期: 2022-12-27 14:29 查看: 88 次目录

本页内容

现在我们利用单调有界收玫准则来讨论另一个重要极限: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. 先考虑 $x>0$ ，且 $x=n$ 时的情形.
设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ，利用二项式定理，则有

$$
\begin{aligned}
& x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+\frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-n+1)}{n !} \cdot \frac{1}{n^n} \\
& =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
\end{aligned}
$$

类似地，

$$
\begin{aligned}
& x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \\
& \quad+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right)
\end{aligned}
$$

比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ ，则有 $x_n \leq x_{n+1}$ ，即 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加，又由

$$
x_n=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
$$

得

$$
x_n \leq 1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3
$$

即 $\left\{x_n\right\}$ 有上界，因此由单调有界定理知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在，不妨记

$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e} \\
\mathrm{e}=2.718281828459045 \ldots
\end{gathered}
$$

设 $x$ 为实数，当 $x>0$ 时，则有 $n=[x] \leq x<[x]+1=n+1$ ， 因此

$$
\begin{aligned}
& \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n-1}}=\mathrm{e} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{n+\frac{n+1}{n}}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

并注意到 $x \rightarrow+\infty \Leftrightarrow n \rightarrow \infty$ ，则由夹逼准则得 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$.

当 $x<0$ 时，令 $x=-(t+1)$ ，则当 $x \rightarrow-\infty$ 时， $t \rightarrow+\infty$ ，因此

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x & =\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{t+1}\right)^{-t+1)}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+1} \\
& =\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{t+1}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

由 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ 及 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ ，则得
$\lim _{x \rightarrow=1}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$

**证法2 $\lim\limits_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$**

证明  对 $ {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} $ 用牛顿二项式展开得

$$
\begin{gathered}
\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+x\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{x(x-1)}{2 !}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{x(x-1)(x-2)}{3 !}\left(\frac{1}{x}\right)^3+\cdots \\
\Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)}{2 !} \frac{1}{x^2}+\frac{x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)}{3 !} \frac{1}{x^3}+\cdots \\
\Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots
\end{gathered}
$$

令 $x \to \infty $

$$
\begin{aligned}
\Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots\right] \\
\Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{3 !} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)+\cdots
\end{aligned}
$$

利用极限有

$$
\Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)\left(1-\frac{2}{\infty}\right)+\cdots
$$

又由于 $ \frac{1}{\infty } = 0$

$$
\begin{gathered}
\Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}(1-0)+\frac{1}{3 !}(1-0)(1-0)+\cdots \\
\Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 ! } +... (1)  
\end{gathered}
$$

因为我们知道

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^4}{4 !}+...
$$

令 $x=1$，因此

$$
e=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots ...(2)
$$

比较(1)和(2) 可以得到

$$
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e
$$

我们还可以得到第二重要极限的另一种形式.
利用代换 $u=\frac{1}{x}$ ，则当 $x \rightarrow \infty$ 时， $u \rightarrow 0$ ，于是有

$$
\lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}
$$

习惯上写作

$$
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}
$$

注 在求函数极限时，常用到形如 $f(x)^{g(x)}(f(x) \neq 1)$ 的函数 ( 通常称为幂指函 数 ) 的极限，我们有下面的计算公式.
性质 如果 $\lim f(x)=A>0, \lim g(x)=B$ ，那么 $\lim [f(x)]^{g(x)}=A^B$.

题 (1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$
解 (1) 利用重要极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 求极限， 要注意函数指数中变量 $x$ 与底数中变 量 $x$ 是相同的，正负号也相同，且自变量 $x \rightarrow \infty$.
本题 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{-x}\right)^x$ ，底数中变量为 $-x$ ，指数中变量是 $x$ ，两者相差一个负 号，求解时，可按下述两种方法之一计算.
(I) 做变换: 令 $x=-t$, 当 $x \rightarrow \infty$ 时， $t \rightarrow \infty$, 于是

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{e} \text { ； }
$$

(II) 适当变形： $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{(-x-x-1)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}$.

题 (2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ； 解 (2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}\right]^2=\mathrm{e}^2$
题 (3) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2$ $=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^3 \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2=\mathrm{e}^3 \cdot 1^2=\mathrm{e}^3$
题 $(4) \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{\frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}$
题 (5) $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ ～解
(5) $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$
题 (6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}$.
(6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{5}{3 x-1}\right)^{\frac{3 x-1}{5}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3 x-1}(x+\infty)}=\mathrm{e}^{\frac{5(x+1)}{3 x-1}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}\right.$

本系统使用启明星知识库Kbase搭建，最后更新于2022-12-27 14:29 ，如果您有意见或建议请点击反馈。